Русская Википедия:Процедура Кэли — Диксона
Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.
Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).
| Алгебра | Размер- ность (n) |
Упорядо- ченность |
Свойства умножения | Отсутствие Шаблон:Comment делителей нуля | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Коммута- тивность |
Ассоциа- тивность |
Альтерна- тивность |
Степенная ассоциа- тивность | ||||
| Действитель- ные числа (<math>\mathbb{R}</math>) |
1 | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes |
| Комплексные числа (<math>\mathbb{C}</math>) |
2 | Шаблон:No | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes |
| Кватернионы (<math>\mathbb{H}</math>) | 4 | Шаблон:No | Шаблон:No | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes |
| Октонионы (<math>\mathbb{O}</math>) | 8 | Шаблон:No | Шаблон:No | Шаблон:No | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes | Шаблон:Yes |
| Седенионы (<math>\mathbb{S}</math>) | 16 | rowspan=2 Шаблон:No | rowspan=2 Шаблон:No | rowspan=2 Шаблон:No | rowspan=2 Шаблон:No | rowspan=2 Шаблон:Yes | rowspan=2 Шаблон:No |
| > 16 | |||||||
Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению[1] являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.
В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности[2]Шаблон:Rp.
Общий случай
Если для некоторых чисел <math>a</math> и <math>b</math> существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как <math>\ |a|^2 = a \bar{a}</math> (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел <math>(a, b)</math>:
- <math>(a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c})</math> — закон умножения пар,
- <math>\overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b)</math> — сопряжённая пара.
Свойства
- (расширенная) норма упорядоченной пары:
- <math>|(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2</math> — равна нулю только при Шаблон:Math.
- Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление <math>\ r / q</math> определяется как <math>\frac{r \bar{q}}{|q|^2}</math> или <math>\frac{\bar{q}r }{|q|^2}</math> — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
- Если для чисел выполняется <math>\ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a},</math> это выполняется и для упорядоченных пар:
- <math>\overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.
</math>
- Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:
- <math>|rq|^2=(rq)\overline{(rq)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r}=|r|^2 \cdot |q|^2.</math>
В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.
Наследуемые
Если исходная алгебра имеет единицу, то Шаблон:Math — единица в расширенной алгебре.
Если в исходной алгебре всякий элемент вида Шаблон:Math или Шаблон:Math ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.
Ослабляемые
- Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
- Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
- Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида Шаблон:Math или Шаблон:Math коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.
Можно проследить на примере чисел, как из поля [[действительное число|Шаблон:Math]] с тождественным сопряжением получается поле [[комплексное число|Шаблон:Math]] (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) [[кватернион|Шаблон:Math]], откуда получается неассоциативная алгебра [[октонион|Шаблон:Math]], но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т. к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.
Приложения
Комплексные числа
Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.
Кватернионы
Произвольный кватернион <math>\ q = a + bi + cj + dk</math> можно представить в виде <math>\ q = (a + bi) + (c + di)j</math> или, эквивалентно, <math>\ q = z_1 + z_2 \cdot j, \quad z_1 = a + b\cdot i, \quad z_2 = c + d\cdot i,</math> где <math>\ z_1, z_2</math> — комплексные числа, поскольку <math>\ i^2 = -1</math> выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а <math> k = i\cdot j</math>.
Возьмём ещё один кватернион <math>\ r=w_1+w_2 j.</math> Перемножив и раскрыв скобки (т. к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:
- <math>\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j + z_2 j w_1 + z_2 j w_2 j.</math>
Поскольку <math>\ zj=j \bar{z}, \; zw=wz,</math> то, переставляя множители, получим: <math>\ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) + (w_2 z_1 + z_2 \bar{w_1}) j.</math>
Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида <math>\ z_1 + z_2 \cdot j</math>, удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т. е. кватернионов с <math>z_2=w_2=0</math>).
Обобщения
Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[3] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.
Примечания
Ссылки
- Шаблон:Citation
- HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
- И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
- Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ Альберт, Абрахам Адриан. Quadratic forms permitting composition. Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177
