Русская Википедия:Процесс Гаусса — Маркова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Проце́сс Га́усса — Ма́ркова — случайный процесс, который удовлетворяет требованиям как для гауссовского процесса, так и для марковского. Назван в честь Карла Фридриха Гаусса и Андрея Андреевича Маркова. Стационарный процесс Гаусса — Маркова также известен как процесс Орнштейна — Уленбека.

Основные свойства

Каждый процесс Гаусса — Маркова <math>X(t)</math> обладает тремя следующими свойствами:

1. Если <math>h(t)</math> — ненулевая скалярная функция от <math>t</math>, то <math>z(t)=h(t) X(t)</math> также является процессом Гаусса — Маркова.
2. Если <math>f(t)</math> — неубывающая скалярная функция от <math>t</math>, то <math>z(t)=X(f(t))</math> также является процессом Гаусса — Маркова.
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднеквадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция <math>h(t)</math> и строго возрастающая скалярная функция <math>f(t)</math> такие, что <math>X(t)=h(t)W(f(t))</math>, где <math>W(t)</math> — стандартный винеровский процесс.

Свойство (3) означает, что любой невырожденный непрерывный в среднеквадратическом процесс Гаусса — Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса.

Прочие свойства

Стационарный процесс Гаусса — Маркова с дисперсией <math>\textbf{E}(X^{2}(t)) = \sigma^{2}</math> и постоянной времени <math>\beta^{-1}</math> обладает следующими свойствами.

• Экспоненциальная автокорреляция:

<math>\textbf{R}_{x}(\tau) = \sigma^{2}e^{-\beta |\tau|}.\,</math>

• Функция спектральной плотности мощности, имеет ту же форму, что и распределение Коши:

<math>\textbf{S}_{x}(j\omega) = \frac{2\sigma^{2}\beta}{\omega^{2} + \beta^{2}}.\,</math>

(Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными коэффициентами.)

• Вышеупомянутое даёт следующую спектральную факторизацию:

<math>\textbf{S}_{x}(s) = \frac{2\sigma^{2}\beta}{-s^{2} + \beta^{2}}

            = \frac{\sqrt{2\beta}\,\sigma}{(s + \beta)} 
             \cdot\frac{\sqrt{2\beta}\,\sigma}{(-s + \beta)}, 

</math>

что важно в винеровском оценивании и других областях.