Русская Википедия:Процесс Пуассона
Шаблон:Seealso Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс[1] — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью. Шаблон:TOC-left Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то
- <math>\Lambda(A)=\int\limits_{a}^{b} \lambda(t)\, dt</math>
Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.[2]
Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.
Классификация
Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).
Простой процесс Пуассона
Пусть <math>\lambda > 0</math>. Случайный процесс <math>\{X_t\}_{t \ge 0}</math> называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью <math>\lambda</math>, если
- <math>X_0 = 0</math> почти достоверное.
- <math>\{X_t\}</math> — процесс с независимыми приращениями.
- <math>X_t - X_s \sim \ \mathrm{P}(\lambda(t-s))</math> для любых <math>0 \le s < t < \infty</math>, где <math>\mathrm{P}(\lambda(t-s))</math> обозначает распределение Пуассона с параметром <math>\lambda(t-s)</math>.
Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс
- Пусть <math>\xi_1 , ..., \xi_n </math> последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
- Пусть <math>N(t) </math> — простой пуассоновский процесс с интенсивностью <math>\lambda </math>, не зависящий от последовательности <math>\xi_1 , ..., \xi_n </math>.
Обозначим через <math> S_k</math> сумму первых k элементов введённой последовательности.
Тогда определим сложный Пуассоновский процесс <math> \{Y_t\} </math> как <math> S_{N(t)} </math> .
Свойства
- Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение <math>\text{Exp}(\lambda)</math>.
- Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того
- <math>\mathbb{P}(X_t = k) = \frac{\lambda^k t^k}{k!} e^{-\lambda t}, \quad k = 0,1,2,\ldots</math>,
то есть момент <math>k</math>-го скачка имеет гамма-распределение <math>\text{Γ}(\lambda, k)</math>.
- Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно
- <math>\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 0) = 1-\lambda h + o(h)</math>
- <math>\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 1) = \lambda h + o(h)</math>
- <math>\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t > 1) = o(h)</math> при <math>h \to 0</math>,
где <math>o(h)</math> обозначает «о малое».
Критерий
Для того чтобы некоторый случайный процесс <math>\{X_t\}</math> с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:
- <math> X_0 = 0 </math>.
- Процесс имеет независимые приращения.
- Процесс однородный.
- Процесс принимает целые неотрицательные значения.
- <math> P\{X_h \geq 2\} = o(h) </math> при <math> h \searrow 0 </math>.
Информационные свойства[3]
- Пусть <math>\tau_1,\dots,\tau_n</math> — моменты скачков процесса Пуассона. <math>T= \tau_j- \tau_{j-1}</math>.
Зависит ли <math>T</math> от предыдущей части траектории?
<math>\mathbb P(\{T>t+s \mid T>s\})</math> — ?
Пусть <math>u(t)= \mathbb P(T>t)</math>.
<math>u(t\mid s)=\frac{ \mathbb P(T>t+s\cap T>s)}{ \mathbb P(T>s)}=\frac{\mathbb P(T>t+s)}{\mathbb P(T>s)}</math>
<math>u(t\mid s)u(s)=u(t+s)</math>
<math>u(t\mid s)=s(t) \Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}</math>.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.
- Рассмотрим отрезок <math>[a,b]</math> на временно́й оси.
<math>X(b)-X(a)=n</math> — число скачков на отрезке <math>[a,b]</math>.
Условное распределение моментов скачков <math>\tau_1,\dots,\tau_n\mid X(b)-X(a)=n</math> совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины <math>n</math> из <math>R[a,b]</math>.
Плотность этого распределения <math>f_{\tau_1,\dots,\tau_n}(t)=\frac{n!}{(b-a)^n}\mathbb{I}(a \leqslant t_1 \leqslant \cdots \leqslant t_n \leqslant b)</math>
Центральная предельная теорема
- Теорема.
<math>\mathbb P\biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{ \lambda t}}< x\biggr)\underset{\lambda t\to\infty}{\overset x\rightrightarrows}\Phi(x)\sim N(0,1)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{u^2}2}du</math>
Скорость сходимости:
<math>\sup\limits_x\biggl|\mathbb P \biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{\lambda t}}< x \biggr)-\Phi(x)\biggr| \leqslant\frac{C_0}{\sqrt{ \lambda t}}</math>,
где <math>C_0</math> — константа Берри-Эссеена.
Применение
Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.
Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчётом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчётам.
Литература
Примечания
См. также
