Русская Википедия:Процесс с независимыми приращениями

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

Определение

Случайный процесс <math>\{X_t\}_{t \in T}</math>, где <math>T \subset [0,+\infty)</math> называется процессом с независимыми приращениями, если для любых <math>t_0,t_1,\ldots,t_n \in T</math> таких, что <math>0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n</math>, случайные величины :<math>X_{t_0},X_{t_1} - X_{t_0},\ldots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}</math> независимы.

Замечание

• Пусть <math>T = \mathbb{N} \cup \{0\}</math>. Положим <math>Y_n = X_n - X_{n-1},\; n \in \mathbb{N}</math>. Тогда

<math>X_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i</math>,

и <math>\{Y_n\}_{n\ge 1}</math> — независимые случайные величины.

Свойства

• Пусть <math>\{X_t\}_{t \in T}</math> — случайный процесс, а <math>\phi_{X_t - X_r}</math> — характеристическая функция случайной величины <math>X_t - X_r</math>, где <math>t > r</math>. Тогда <math>\{X_t\}</math> — процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда для любых <math>0 \le r < s < t < \infty</math> и <math>u \in \mathbb{R}</math> выполняется равенство:

<math>\phi_{X_t-X_r}(u) = \phi_{X_s-X_r}(u) \cdot \phi_{X_t-X_s}(u)</math>.

• Любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

• Винеровский процесс;
• Пуассоновский процесс.