Русская Википедия:Прямая
Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий[1], их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрииШаблон:Sfn.
Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках»[2].
Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов[3].
Свойства прямой в евклидовой геометрии
Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.
- Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
- Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
- Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке[4], или являются параллельными (следует из предыдущего).
- В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
- Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Уравнения прямой на плоскости
<math>\scriptstyle{y=kx+b,\;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}</math> или <math>\scriptstyle{x\cos\theta+y\sin\theta-p=0}</math>
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
- <math>Ax+By+C=0,</math>
где <math>A, B</math> и <math>C</math> — произвольные постоянные, причём постоянные <math>A</math> и <math>B</math> не равны нулю одновременно.
При <math>A = 0</math> прямая параллельна оси <math>Ox</math>, при <math>B = 0</math> — параллельна оси <math>Oy</math>.
Вектор с координатами <math>(A, B)</math> называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.
При <math>C=0</math> прямая проходит через начало координат.
Также уравнение можно переписать в виде
- <math> A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.</math>
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой линии, пересекающей ось <math>Oy</math> в точке <math>(0,\;b)</math> и образующей угол <math>\varphi</math> с положительным направлением оси <math>Ox</math>:
- <math>y=kx+b,\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi.</math>
Коэффициент <math>k</math> называется угловым коэффициентом прямой.
В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси <math>Oy.</math> (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение прямой линии, пересекающей ось <math>Ox</math> в точке <math>(a,\;0)</math> и ось <math>Oy</math> в точке <math>(0,\;b)</math>:
- <math>\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\quad(a\ne 0,\;b\ne 0).</math>
В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.
Нормальное уравнение прямой
- <math>x\cos\theta+y\sin\theta-p=0,</math>
где <math>p</math> — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а <math>\theta</math> — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси <math>Ox</math> и направлением этого перпендикуляра. Если <math>p=0</math>, то прямая проходит через начало координат, а угол <math>\theta=\varphi+\frac{\pi}{2}</math> задаёт угол наклона прямой.
Если прямая задана общим уравнением <math>Ax+By+C=0,</math> то отрезки <math>a</math> и <math>b,</math> отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент <math>k,</math> расстояние прямой от начала координат <math>p,</math> <math>\cos\theta</math> и <math>\sin\theta</math> выражаются через коэффициенты <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> следующим образом:
- <math>a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B},\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi=-\frac{A}{B},\quad\varphi=\theta-\frac{\pi}{2},</math>
- <math>p=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\cos\theta=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\theta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}.</math>
Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие <math>p>0.</math> В этом случае <math>\cos\theta</math> и <math>\sin\theta</math> являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если <math>C=0,</math> то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
Если заданы две несовпадающие точки с координатами <math>(x_1,\;y_1)</math> и <math>(x_2,\;y_2)</math>, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением
- <math>\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0</math>
или
- <math>\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}</math>
или в общем виде
- <math>\left(y_1-y_2\right)x+\left(x_2-x_1\right)y+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)=0.</math>
Векторное параметрическое уравнение прямой
Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором <math>\vec{r}_0,</math> конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой <math>\vec{u}.</math> Параметр <math>t</math> пробегает все действительные значения.
- <math>\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{u}.</math>
Параметрические уравнения прямой
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
- <math>\begin{cases} x=x_0+a_xt, \\
y=y_0+a_yt,
\end{cases}</math> где <math>t</math> — произвольный параметр, <math>a_x,\; a_y</math> — координаты <math>x</math> и <math>y</math> направляющего вектора прямой. При этом
- <math>k=\frac{a_y}{a_x},\quad a=\frac{a_yx_0-a_xy_0}{a_y},\quad b=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{a_x},</math>
- <math>p=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\cos\theta=\frac{a_x}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\sin\theta=\frac{a_y}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}}.</math>
Смысл параметра <math>t</math> аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое: Шаблон:Вывод
- <math> \frac{x-x_0}{y-y_0}=\frac{a_x}{a_y} \Longleftrightarrow \frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y} </math>
где <math>a_x, a_y</math> — координаты <math>x</math> и <math>y</math> направляющего вектора прямой, <math>x_0</math> и <math>y_0</math> координаты точки, принадлежащей прямой.
Уравнение прямой в полярных координатах
Уравнение прямой в полярных координатах <math>\rho</math> и <math>\varphi</math>:
- <math>\rho(A\cos\varphi+B\sin\varphi)+C=0</math>
или
- <math>\rho\cos(\varphi-\theta)=p.</math>
Тангенциальное уравнение прямой
Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:
- <math>\xi x+\eta y=1.</math>
Числа <math>\xi</math> и <math>\eta</math> называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.
Уравнения прямой в пространстве
Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
- <math>\vec r=\vec{r}_0+t\vec a,\quad t\in(-\infty,\;+\infty),</math>
где <math>\vec{r}_0</math> — радиус-вектор некоторой фиксированной точки <math>M_0,</math> лежащей на прямой, <math>\vec a</math> — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), <math>\vec r</math> — радиус-вектор произвольной точки прямой.
Параметрические уравнения прямой в пространстве:
- <math>x=x_0+t\alpha,\;y=y_0+t\beta,\;z=z_0+t\gamma,\quad t\in(-\infty,\;+\infty),</math>
где <math>(x_0,\;y_0,\;z_0)</math> — координаты некоторой фиксированной точки <math>M_0,</math> лежащей на прямой; <math>(\alpha,\;\beta,\;\gamma)</math> — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
- <math>\frac{x-x_0}{\alpha}=\frac{y-y_0}{\beta}=\frac{z-z_0}{\gamma},</math>
где <math>(x_0,\;y_0,\;z_0)</math> — координаты некоторой фиксированной точки <math>M_0,</math> лежащей на прямой; <math>(\alpha,\;\beta,\;\gamma)</math> — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Общее векторное уравнение прямойШаблон:Уточнить в пространстве:
- Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
- <math>(\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0</math> и <math>(\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0,</math>
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
- <math>\begin{cases}(\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0,\\
(\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0.\end{cases}</math>
Векторное уравнение прямой в пространстве[5]Шаблон:Rp:
- Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой <math>\vec r</math> на фиксированный направляющий вектор прямой <math>\vec a</math>:
- <math>[\vec r, \vec a]=\vec M,</math>
где фиксированный вектор <math>\vec M</math>, ортогональный вектору <math>\vec a</math>, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.
Взаимное расположение точек и прямых на плоскости
Три точки <math>(x_1,\;y_1)</math>, <math>(x_2,\;y_2)</math> и <math>(x_3,\;y_3)</math> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие
- <math>\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0.</math>
Отклонение точки <math>(x_1,\;y_1)</math> от прямой <math>Ax+By+C=0</math> может быть найдено по формуле
- <math>\delta=\frac{Ax_1+By_1+C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},</math>
где знак перед радикалом противоположен знаку <math>C.</math> Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.
В пространстве расстояние от точки <math>(x_1,\;y_1,\;z_1)</math> до прямой, заданной параметрическим уравнением
- <math>\begin{cases}x=x_0+t\alpha,\\
y=y_0+t\beta,\quad t\in\R\\ z=z_0+t\gamma,\end{cases}</math> можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент <math>t</math> этой точки может быть найден по формуле
- <math>t_\min=\frac{\alpha(x_1-x_0)+\beta(y_1-y_0)+\gamma(z_1-z_0)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}.</math>
Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
Две прямые, заданные уравнениями
- <math>A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0</math>
или
- <math>y=k_1x+b_1,\quad y=k_2x+b_2</math>
пересекаются в точке
- <math>x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{b_1-b_2}{k_2-k_1},\quad y=\frac{C_1A_2-C_2A_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{k_2b_1-k_1b_2}{k_2-k_1}.</math>
Угол <math>\gamma_{12}</math> между пересекающимися прямыми определяется формулой
- <math>\mathrm{tg}\,\gamma_{12}=\frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2+B_1B_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.</math>
При этом под <math>\gamma_{12}</math> понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, <math>C_1</math>, <math>k_1</math> и <math>b_1</math>) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.
Эти прямые параллельны, если <math>A_1B_2-A_2B_1=0</math> или <math>k_1=k_2</math>, и перпендикулярны, если <math>A_1A_2+B_1B_2=0</math> или <math>k_1=-\frac{1}{k_2}</math>.
Любую прямую, параллельную прямой с уравнением <math>A_1x+B_1y+C_1=0,</math> можно выразить уравнением <math>A_1x+B_1y+C=0.</math> При этом расстояние между этими прямыми будет равно
- <math>\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2}};</math>
Если же уравнение прямой задано как <math>y_1=kx_1+b_1</math>, а уравнение прямой параллельной ей <math>y=kx+b</math>, то расстояние можно вычислить, как
- <math>\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.</math>
Если знак перед радикалом противоположен <math>C_1,</math> то <math>\delta</math> будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.
Для того, чтобы три прямые
- <math>A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0,\quad A_3x+B_3y+C_3=0</math>
пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
- <math>\begin{vmatrix}A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}=0.</math>
Если <math>A_2=-B_1</math> и <math>B_2=A_1</math>, то прямые <math>A_1x+B_1y+C_1=0 </math> и <math>A_2x+B_2y+C_2=0</math> перпендикулярны.
Некоторые специальные типы прямых
Примечания
Литература
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике. — Выпуск 4. — Гостехиздат, 1952 г. — 32 стр.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
Ссылки
- Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
- Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»
Шаблон:ВС Шаблон:Кривые Шаблон:Конические сечения
- ↑ Шаблон:Harvnb
- ↑ Шаблон:Публикация
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Faber, Appendix B, p. 300.
- ↑ Шаблон:Книга
