Русская Википедия:Прямая Симсона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Pedal line illustration.svg

Прямая Симсона треугольника ABC

Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона.

Теорема Симсона

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки <math>P</math> описанной окружности треугольника <math>ABC</math> на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки <math>P</math> на стороны треугольника <math>ABC</math> или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка <math>P</math> лежит на описанной окружности треугольника.

История

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом. Поэтому, наряду с традиционным названием этой прямой, часто используется исторически более справедливое название: Шаблон:Видимый якорь.

Свойства

Файл:Simson-deltoid-anim.gif

Прямые Симсона (красным цветом) являются касательными к дельтоиде Штейнера (синим цветом).

• Пусть <math>H</math> — ортоцентр треугольника <math>ABC</math>. Тогда прямая Симсона произвольной точки <math>P</math> на описанной окружности треугольника <math>ABC</math> делит отрезок <math>PH</math> пополам в точке, лежащей на окружности девяти точек.

• Если P и Q являются точками на описанной окружности, то угол между прямыми Симсона точек P и Q равен половине угла дуги PQ.
  • В частности, если 2 точки на описанной окружности диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны, и в этом случае точка пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона также лежит на окружности девяти точек. При этом вторые точки пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона с окружностью девяти точек будут концами диаметра последней окружности.

• Для двух данных треугольников с одной и той же описанной окружностью, угол между прямыми Симсона точки P на окружности для обоих треугольников не зависит от P.

Прямая Симсона и треугольник Морлея

• На описанной окружности треугольника <math>ABC</math> существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника <math>ABC</math>, причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.

Прямая Симсона и прямая Штейнера

• Точки, симметричные точке P на описанной окружности относительно сторон треугольника лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр. Эта прямая (прямая Штейнера) параллельна прямой Симсона и переходит в нее при гомотетии с коэффициентом 1/2

Прямая Симсона и точка Фейербаха

• Точка Фейербаха, то есть точка касания вписанной или вневписанной окружности с окружностью девяти точек, является точкой пересечения двух прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности..
  • В частности, точки Фейербаха могут быть построены без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся её окружности Эйлера.

Прямая Симсона и дельтоида

• Огибающая семейства прямых Симсона данного треугольника, есть дельтоида — так называемая дельтоида Штейнера.
  • Якоб Штейнер открыл дельтоиду, как частную гипоциклоиду, которая описывается произвольной фиксированной точкой окружности, которая катится без скольжения внутри окружности в 3 раза большего диаметра. А то, что множество всех возможных линий Симсона, которые могут быть изображены для данного треугольника, имеют огибающую в форме дельтоиды, открыто примерно 100 лет назад и совсем не ШтейнеромШаблон:Sfn.

Прямая Симсона и ортополюс

• Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей.
• Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q.
• Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ

Уравнение прямой Симсона

• Помещая треугольник на комплексную плоскость, предположим, что треугольник ABC вписан в единичную окружность и имеет вершины, комплексные координаты которых есть a , b , c , и пусть P с комплексной координатой p является точкой на окружности. Тогда прямая Симсона описывается следующим уравнением на z:

  <math>2abc\bar{z} -2pz+p^2+(a+b+c)p -(bc+ca+ab)-\frac{abc}{p} =0,</math>

где черта сверху указывает на комплексное сопряжение.

Вариации и обобщения

• Ни один выпуклый многоугольник, имеющий не менее 5 сторон, не имеет прямой Симсона.
• Если из данной точки <math>P</math> описанной окружности треугольника <math>ABC</math> провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
• Прямую Симсона можно определить для любого вписанного <math>n</math>-угольника по индукции следующим образом: прямой Симсона точки <math>P</math> относительно данного <math>n</math>-угольника назовем прямую, содержащую проекции точки <math>P</math> на прямые Симсона всех <math>(n-1)</math>-угольников, полученных выбрасыванием одной вершины <math>n</math>-угольника.
• Теорема Сальмона
• Подерный треугольник — треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника; в случае когда точка лежит на описанной окружности подерный треугольник вырождается и его вершины лежат на прямой Симсона.

• Пусть ABC — треугольник, и пусть прямая ℓ (зеленая на рисунке) проходит через центр X₃ описанной окружности, а точка P лежит на окружности. Пусть AP, BP, CP пересекают прямую ℓ соответственно в точках A_p, B_p, C_p. Пусть A₀, B₀, C₀ представляют собой проекции точек A_p, B_p, C_p соответственно на прямые BC, CA, AB. Тогда 3 точки A₀, B₀, C₀ коллинеарные точки, то есть лежат на одной прямой. Кроме того, проходящая через них, прямая одновременно проходит через середину отрезка PH, где H является ортоцентром треугольника ABC. Если ℓ проходит через P, то прямая совпадёт с прямой Симсона.

Файл:A generalization of the Simson line.svg

Обобщение прямой Симсона

Примеры

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника <math>ABC</math> параллельна прямой <math>OK</math>, а прямая Симсона точки Тарри перпендикулярна прямой <math>OK</math>, где <math>O</math> — центр описанной окружности и <math>K</math> — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника <math>ABC</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.‎// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false.— P. 140-149, 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Ссылки

• Simson Line at cut-the-knot.org
• F. M. Jackson and Шаблон:Mathworld
• A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.