Русская Википедия:Прямая и обратная предельная теорема
Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.
Прямая и обратная предельная теорема
Прямая предельная теорема
Если последовательность функций распределения <math>F_{n}</math> слабо сходится к функции распределения <math>F</math> при <math>n\rightarrow\infty</math>, то последовательность соответствующих характеристических функций <math>\left\{f_{n}\right\}</math> сходится поточечно к характеристической функции <math>f</math>.
Иными словами
- Если <math>F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)</math>, то <math>f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)</math> в каждой точке <math>t</math>.
Обратная предельная теорема
Пусть последовательность характеристических функций <math>\left\{f_{n} \right\}</math> сходится поточечно к функции <math>f</math>, непрерывной в точке 0. Тогда последовательность соответствующих функций распределения <math>F_{n}</math> слабо сходится к функции <math>F</math> и <math>f</math> является характеристической функцией, соответствующей функции распределения <math>F</math>.
Доказательство прямой предельной теоремы
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли и определения характеристической функции:
В качестве функции <math>g</math> возьмем <math>g\left(x\right)=e^{itx}, x\in R</math>, а на <math>i</math> и <math>t</math> смотрим как на параметры.
Замечание
Поточечную сходимость последовательности характеристических функций в этой теореме можно заменить равномерной сходимостью на любом компакте из <math>R</math>.
Доказательство обратной предельной теоремы
Пусть <math>F_{n}</math> — последовательность функций распределения соответствующих последовательности характеристических функций <math>f_{n}</math>. Из первой теоремы Хелли следует, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность
- <math>\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset\left\{{F_{n}}\right\},</math> такая что <math>F_{n_{k}}\Rightarrow F</math>
Докажем, что <math>F</math> является функцией распределения. Для этого достаточно показать, что <math>F\left( +\infty\right)-F\left(-\infty\right) = 1</math>
Для доказательства понадобится следующее неравенство: пусть <math>\xi</math> произвольная случайная величина, <math>f</math> — её характеристическая функция, тогда для любых <math>\tau > 0</math> и <math>x > 0</math>
- <math>P\left ( \left | \xi \right |\leq x \right )\geq\frac{\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |-\frac{1}{\tau x}}{1 - \frac{1}{\tau x}}</math>
Положим <math>\tau x = 2 </math>, тогда неравенство примет вид
- <math>P\left ( \left | \xi \right |\leq x \right )\geq\frac{\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |-\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}=2\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |-1</math>
Докажем неравенство <math>P\left ( \left | \xi \right |\leq x \right )\geq\frac{\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |-\frac{1}{\tau x}}{1 - \frac{1}{\tau x}}</math>. Из определения характеристической функции и теоремы Фубини следует
- <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |=\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\mathsf{M}e^{it\xi}dt \right |=\left | \frac{1}{2\tau}\mathsf{M}\int_{-\tau}^{\tau}e^{it\xi}dt \right |=\left |\frac{1}{2\tau} \mathsf{M}\frac{\sin{\tau\xi}}{\xi} \right | = </math>
- <math>= \left | \frac{1}{\tau}\mathsf{M}\frac{\sin{\tau\xi}}{\xi} \right |I_{\left \{\left | \xi \right |\leq x \right \}} + \left | \frac{1}{\tau}\mathsf{M}\frac{\sin{\tau\xi}}{\xi} \right |I_{\left \{\left | \xi \right |> x \right \}}\leq \mathsf{M}\left | \frac{\sin{\tau\xi}}{\tau\xi} \right |I_{\left \{\left | \xi \right |\leq x \right \}} + \mathsf{M}\left | \frac{\sin{\tau\xi}}{\tau\xi} \right |I_{\left \{\left | \xi \right |> x \right \}}\leq P\left ( \left | \xi \right |\leq x \right ) + \frac{1}{\tau x}\left ( 1-P\left ( \left | \xi \right | \leq x \right ) \right )</math>
Так как функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>0</math> и является поточечным пределом характеристических функций <math>\left\{f_{n}\right\}</math>, то <math>f\left(0\right)=1</math> и для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое <math>\tau_{0}>0</math>, что для всех <math>\tau</math> удовлетворяющих неравенству <math>0<\tau\leq \tau_{0},</math> выполнено
- <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |>1-\frac{\varepsilon}{4}</math>
Из того, что <math>f_{n}\rightarrow f</math> при <math>n\rightarrow\infty</math> вытекает для всех <math>n>n_{0}</math> и для <math>\tau\in(0;\tau_{0}],</math>
- <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f_{n}\left ( t \right )dt - \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |<\frac{\varepsilon}{4}</math>
Из неравенств <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |>1-\frac{\varepsilon}{4}</math> и <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f_{n}\left ( t \right )dt - \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |<\frac{\varepsilon}{4}</math> следует, что для любых <math>n>n_{0}</math> и <math>\tau</math>, таких что <math>0<\tau\leq\tau_{0}</math>
- <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f_{n}\left ( t \right )dt \right |>1 - \frac{\varepsilon}{2}</math>
Из неравенств <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f_{n}\left ( t \right )dt \right |>1 - \frac{\varepsilon}{2}</math> и <math>\left | \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f_{n}\left ( t \right )dt - \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}f\left ( t \right )dt \right |<\frac{\varepsilon}{4}</math> имеем
- <math>F_{n_{k}}\left ( \frac{2}{\tau} \right )-F{n_{k}}\left (- \frac{2}{\tau} - 0 \right )\geq P\left ( \left | \varepsilon_{n_{k}} \right |\leq\frac{\tau}{2} \right )\geq 2\left ( 1- \frac{\varepsilon}{2} \right )-1 =1 - \varepsilon</math>,
для всех <math>n>n_{0}</math> и <math>0<\tau\leq\tau_{0}</math>. Из последнего неравенства в силу произвольности <math>\tau</math> и <math>\varepsilon</math> получаем
- <math>F\left( +\infty\right)-F\left(-\infty\right) = 1</math>
то есть <math>F</math> — функция распределения. По прямой предельной теореме из доказанного следует
- <math>f_{n_{k}}\left ( t \right )\underset{n_{k}\rightarrow\infty}{\rightarrow}\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF\left ( x \right ), t\in\mathbb{R} </math>
Но по условию теоремы
- <math>f_{n}\left ( t \right )\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}f\left(t\right), t\in\mathbb{R} </math>
Следовательно
- <math>f\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF\left ( x \right )</math> — характеристическая функция, соответствующая функции распределения <math>F</math>
Докажем теперь, что
- <math>F_{n}\underset{n\rightarrow\infty}{\Rightarrow}F</math>
Предположим противное, пусть
- <math>F_{n}\nRightarrow F</math> при <math>n\rightarrow\infty</math>. Тогда существует <math>\left \{ F_{m_{k}} \right \}\subset \left \{ F_{n} \right \}, F_{m_{k}}\Rightarrow F^*, F^*\neq F </math>, причем <math>F</math> и <math>F^*</math> — функции распределения
По прямой предельной теореме имеем
- <math>f_{n_{k}}\left ( t \right )\rightarrow f\left ( t \right ),f_{m_{k}}\left ( t \right )\rightarrow f^*\left ( t \right ), k\rightarrow\infty</math>
и по теореме единственности <math>f\left(t\right)\neq f^*\left(t\right)</math>, но этого не может быть, так как
- <math>f_{n}\left ( t \right )\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}f\left(t\right)</math>,
Следовательно
- <math>f\left(t\right)= f^*\left(t\right)</math>
Теорема доказана.
Литература
См. также
