Русская Википедия:Прямое произведение групп

Прямое произведение групп — операция, которая по группам <math>G</math> и <math>H</math> строит новую группу, обычно обозначающуюся как <math>G\times H</math>. Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают <math>G \oplus H</math>. Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно теореме о структуре конечнопорождённых абелевых групп, любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму циклических групп.

Определение

Если <math>G</math> и <math>H</math> — группы с операциями <math>*</math> и <math>\triangle</math> соответственно, то прямое произведение <math>G \times H</math> определяется следующим образом:Шаблон:Ordered list

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы:

Ассоциативность бинарной операции: Бинарная операция на <math>G \times H</math> ассоциативна, что проверяется покомпонентно.
Существование единичного элемента: Прямое произведение имеет единичный элемент <math>1_{G\times H}=(1_G, 1_H)</math>, где <math>1_G</math> — единичный элемент <math>G</math> и <math>1_H</math> — единичный элемент <math>H</math>.
Существование обратного элемента: Обратный элемент к элементу <math>(g, h)</math> в <math>G \times H</math> — это пара <math>(g^{-1}, h^{-1})</math>, где <math>g^{-1}</math> является обратным к <math>g</math> в <math>G</math>, а <math>h^{-1}</math> — обратным к <math>h</math> в <math>H</math>.

Примеры

Пусть <math>\mathbb{R}</math> — группа вещественных чисел с операцией сложения. Тогда прямое произведение <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R}</math> — группа всех двухкомпонентных векторов <math>(x, y)</math> с операцией сложения векторов:
<math>(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)</math>.
Пусть <math>\mathbb{R^{+}}</math> — группа положительных вещественных чисел с операцией умножения. Тогда прямое произведение <math>\mathbb{R^{+}} \times \mathbb{R^{+}}</math> — это группа всех векторов в первой координатной четверти с операцией покомпонентного умножения:
<math>(x_1, y_1) \times (x_2, y_2) = (x_1 \times x_2, y_1 \times y_2)</math>.
Пусть <math>G</math> и <math>H</math> — циклические группы, каждая из которых содержит два элемента:

<math>G</math>
* 1 a

1 1 a

a a 1
<math>H</math>
* 1 b

1 1 b

b b 1

Тогда прямое произведение <math>G \times H</math> изоморфно четверной группе Клейна:

<math>G\times H</math>
*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a, b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a, b)	(1,1)	(a,1)
(a, b)	(a, b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Элементарные свойства

Шаблон:Unordered list

Алгебраическая структура

Пусть <math>G</math> и <math>H</math> — группы, а <math>P = G \times H</math>. Рассмотрим следующие два подмножества <math>P</math>:

<math>G^\prime=\{(g,1) :g \in G\}</math> и <math>H^\prime=\{(1,h) :h \in H\}</math>.

Оба эти подмножества являются подгруппами <math>P</math>, при этом <math>G^\prime</math> канонически изоморфна <math>G</math>, а <math>H^\prime</math> канонически изоморфна <math>H</math>. Если мы отождествим их с <math>G</math> и <math>H</math> соответственно, то мы сможем считать, что прямое произведение <math>P</math> содержит исходные группы <math>G</math> и <math>H</math> в качестве подгрупп.

Указанные подгруппы обладают следующими тремя важными свойствами:

Пересечение <math>G \cap H</math> тривиально.
Каждый элемент из <math>P</math> можно однозначно представить как произведение элемента из <math>G</math> и элемента из <math>H</math>.
Каждый элемент из <math>G</math> коммутирует с каждым элементом из <math>H</math>.

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения <math>P</math>. Иными словами, если <math>P</math> — любая группа, имеющая подгруппы <math>G</math> и <math>H</math>, удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, то <math>P</math> изоморфна прямому произведению <math>G</math> и <math>H</math>. В этой ситуации <math>P</math> иногда называют внутренним прямым произведением её подгрупп <math>G</math> и <math>H</math>.

В некоторых случаях третье из приведённых свойств заменяется следующим:

3′. <math>G</math> и <math>H</math> нормальны в <math>P</math>.

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, что можно доказать, рассматривая коммутатор <math>[g,h]</math>, где <math>g</math> — любой элемент в <math>G</math>, а <math>h</math> — любой элемент в <math>H</math>.

Примеры внутреннего прямого произведения

Шаблон:Unordered list

Копредставления прямого произведения

Алгебраическая структура <math>G \times H</math> может быть использована для копредставления прямого произведения с помощью копредставлений <math>G</math> и <math>H</math>. В частности, предположим, что

<math>G = \langle S_G \mid R_G \rangle \ \ </math> и <math>\ \ H = \langle S_H \mid R_H \rangle,</math>

где <math>S_G</math> и <math>S_H</math> — (непересекающиеся) порождающие множества группы, а <math>R_G</math> и <math>R_H</math> — множества соотношений между порождающими. Тогда

<math>G \times H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \cup R_P \rangle</math>

где <math>R_P</math> — множество соотношений, определяющих, что каждый элемент в <math>S_G</math> коммутирует с каждым элементом в <math>S_H</math>.

Например, если

<math>G = \langle a \mid a^3=1 \rangle \ \ </math> и <math>\ \ H = \langle b \mid b^5=1 \rangle</math>

то

<math>G \times H = \langle a, b \mid a^3 = 1, b^5 = 1, ab=ba \rangle.</math>

Нормальная структура

Как было упомянуто выше, подгруппы <math>G</math> и <math>H</math> нормальны в <math>G \times H</math>. В частности, можно определить функции <math>\pi_G : G \times H \rightarrow G</math> и <math>\pi_H : G \times H \rightarrow H</math> формулами

<math>\pi_G(g, h)=g ~</math> и <math>~ \pi_H(g, h)=h</math>.

Тогда <math>\pi_G</math> и <math>\pi_H</math> являются гомоморфизмами проекции с ядрами <math>H</math> и <math>G</math> соответственно.

Из этого следует, что <math>G \times H</math> — расширение <math>G</math> при помощи <math>H</math> (или наоборот). В случае, когда <math>G \times H</math> — конечная группа, Шаблон:Iw группы <math>G \times H</math> являются в точности объединением композиционных факторов группы <math>G</math> и композиционных факторов группы <math>H</math>.

Дополнительные свойства

Универсальное свойство

Шаблон:Main Прямое произведение <math>G \times H</math> может быть охарактеризовано следующим универсальным свойством. Пусть <math>\pi_G: G \times H \rightarrow G</math> и <math>\pi_H: G \times H \rightarrow H</math> — гомоморфизмы проекции. Тогда для любой группы <math>P</math> и любых гомоморфизмов <math>f_G:P \rightarrow G</math> и <math>f_H:P \rightarrow H</math> существует единственный гомоморфизм <math>f:P \rightarrow G \times H</math>, соответствующий следующей коммутативной диаграмме:

Файл:DirectProductDiagram.png

Иными словами, гомоморфизм <math>f</math> задаётся формулой

<math>f(p) = (f_G(p), f_H(p))</math>.

Это частный случай универсального свойства для произведений в теории категорий.

Подгруппы

Если <math>A</math> — подгруппа <math>G</math> и <math>B</math> — подгруппа <math>H</math>, то прямое произведение <math>A \times B</math> является подгруппой <math>G \times H</math>. Например, изоморфной копией <math>G</math> в <math>G \times H</math> является произведение <math>G \times \{1\}</math>, где <math>\{1\}</math> — тривиальная подгруппа <math>H</math>.

Если <math>A</math> и <math>B</math> нормальны, то <math>A \times B</math> — нормальная подгруппа в <math>G \times H</math>. Более того, факторгруппа прямых произведений изоморфна прямому произведению частных:

<math>(G \times H) / (A \times B) \cong (G / A) \times (H / B)</math>.

Обратите внимание, что, вообще говоря, неверно, что каждая подгруппа из <math>G \times H</math> является произведением подгруппы из <math>G</math> на подгруппу из <math>H</math>. Например, если <math>G</math> — любая нетривиальная группа, то произведение <math>G \times G</math> имеет Шаблон:Iw

<math>\triangle = \{(g, g) : g \in G \}</math>

которая не является прямым произведением двух подгрупп <math>G</math>.

Подгруппы прямых произведений описываются Шаблон:Iw.

Сопряжённость и централизаторы

Два элемента <math>(g_1, h_1)</math> и <math>(g_2, h_2)</math> сопряжены в <math>G \times H</math> тогда и только тогда, когда <math>g_1</math> и <math>g_2</math> сопряжены в <math>G</math> и одновременно <math>h_1</math> и <math>h_2</math> сопряжены в <math>H</math>. Отсюда следует, что каждый класс сопряжённости в <math>G \times H</math> является декартовым произведением класса сопряжённости в <math>G</math> и класса сопряжённости в <math>H</math>.

Аналогично, если <math>(g, h) \in G \times H</math>, то централизатор <math>(g, h)</math> является произведением централизаторов <math>g</math> и <math>h</math>:

<math>C_{G \times H}(g, h) = C_G(g) \times C_H(h)</math>.

Также центр <math>G \times H</math> является произведением центров <math>G</math> и <math>H</math>:

<math>Z(G \times H) = Z(G) \times Z(H)</math>.

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются на прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если <math>\alpha</math> — автоморфизм <math>G</math>, а <math>\beta</math> — автоморфизм <math>H</math>, то произведение функций <math>\alpha \times \beta : G \times H \rightarrow G \times H</math>, определяемое формулой

<math>(\alpha \times \beta)(g, h)=(\alpha(g), \beta(h))</math>

является автоморфизмом <math>G \times H</math>. Из этого следует, что <math>\operatorname{Aut}(G \times H)</math> содержит в себе подгруппу, изоморфную прямому произведению <math>\operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)</math>.

В общем случае неверно, что каждый автоморфизм <math>G \times H</math> имеет вышеуказанный вид. Например, если <math>G</math> — любая группа, то тогда существует автоморфизм <math>\sigma</math> группы <math>G \times G </math>, который меняет местами два множителя, то есть

<math>\sigma(g_1,g_2)=(g_2,g_1)</math>.

Другой пример: группой автоморфизмов группы <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math> является <math>GL(2, \mathbb{Z})</math> — группа всех матриц размера <math>2 \times 2</math> с целочисленными значениями и определителем, равным <math>\pm 1</math>. Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов задаются как <math>\alpha \times \beta</math>.

В общем случае, каждый эндоморфизм <math>G \times H</math> можно записать в виде матрицы размера <math>2 \times 2</math>

<math>\begin{bmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{bmatrix}</math>

где <math>\alpha</math> — эндоморфизм <math>G</math>, <math>\delta</math> — эндоморфизм <math>H</math>, а <math>\beta: H \rightarrow G</math> и <math>\gamma: G \rightarrow H</math> — гомоморфизмы. Эта матрица должна иметь свойство, что каждый элемент образа <math>\alpha</math> коммутирует с каждым элементом образа <math>\beta</math>, а каждый элемент образа <math>\gamma</math> коммутирует с каждым элементом образа <math>\delta</math>.

Когда <math>G</math> и <math>H</math> — неразложимые группы с тривиальными центрами, то группа автоморфизмов прямого произведения относительно проста: <math>\operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)</math>, если <math>G</math> и <math>H</math> не изоморфны, и <math>\operatorname{Aut}(G) ~ wr ~ 2</math>, если <math>G \cong H</math>, где <math>wr</math> обозначает Шаблон:Iw. Это часть Шаблон:Iw, в более общем случае она справедлива для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые произведения

Можно взять прямое произведение более, чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп <math>G_1,...,G_n</math> прямое произведение

<math>\prod_{i=1}^n G_i \;=\; G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n</math>

определяется следующим образом:Шаблон:Unordered list

Оно обладает множеством свойств, которыми обладает прямое произведение двух групп, и может быть алгебраически охарактеризовано аналогичным образом.

Бесконечные прямые произведения

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп <math>G_1, G_2, ...</math> это можно определить точно так же, как для конечного прямого произведения, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными кортежами.

В более общем смысле, для индексированного семейства групп <math>\{ G_i \}_{i \in I}</math> прямое произведение <math>\Pi_{i \in I} G_i</math> определяется следующим образом:Шаблон:Unordered list

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение <math>\Pi_{i \in I} G_i</math> не порождается элементами изоморфных подгрупп <math>\{ G_i \}_{i \in I}</math>. Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма, которая состоит из всех элементов, имеющих лишь конечное число неединичных компонентов.

Другие произведения

Полупрямые произведения

Шаблон:Main Напомним, что группа <math>P</math> с подгруппами <math>G</math> и <math>H</math> изоморфна прямому произведению <math>G</math> и <math>H</math>, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Пересечение <math>G \cap H</math> является тривиальной группой.
Каждый элемент из <math>P</math> можно однозначно представить как произведение элемента из <math>G</math> и элемента из <math>H</math>.
И <math>G</math>, и <math>H</math> являются нормальными в <math>P</math>.

Полупрямое произведение <math>G</math> и <math>H</math> получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп <math>G</math>, <math>H</math> должна быть нормальной. Полученное произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар <math>(g, h)</math>, но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, не требуя ни от одной из подгрупп нормальности. В этом случае группа <math>P</math> называется Шаблон:Iw групп <math>G</math> и <math>H</math>.

Свободные произведения

Шаблон:Main Свободное произведение групп <math>G</math> и <math>H</math>, обычно обозначаемое как <math>G * H</math>, похоже на прямое произведение, за исключением того, что подгруппы <math>G</math> и <math>H</math> группы <math>G * H</math> не обязаны коммутировать. А именно, если

<math>G = \langle ~ S_G ~|~ R_G ~ \rangle</math> и <math>H = \langle ~ S_H ~|~ R_H ~ \rangle</math>,

являются копредставлениями <math>G</math> и <math>H</math>, то

<math>G * H = \langle ~ S_G \cup S_H ~|~ R_G \cup R_H ~ \rangle</math>.

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. К тому же свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Свободное произведение, как ни странно, является копроизведением в категории групп.

Подпрямые произведения

Шаблон:Main Если <math>G</math> и <math>H</math> — группы, то подпрямым произведением <math>G</math> и <math>H</math> является любая подгруппа <math>G \times H</math>, которая отображается сюръективно в <math>G</math> и <math>H</math> под действием гомоморфизмов проекции. Согласно Шаблон:Iw, каждое подпрямое произведение является расслоённым.

Расслоённые произведения

Шаблон:Main Пусть <math>G</math>, <math>H</math> и <math>Q</math> — группы, и пусть <math>\varphi : G \rightarrow Q</math> и <math>\chi : H \rightarrow Q</math> — гомоморфизмы. Расслоённое произведение <math>G</math> и <math>H</math> над <math>Q</math> представляет собой следующую подгруппу <math>G \times H</math>:

<math>G \times_Q H = \{(g, h) \in G \times H : \varphi (g) = \chi (h) \}</math>.

Если <math>\varphi : G \rightarrow Q</math> и <math>\chi : H \rightarrow Q</math> — эпиморфизмы, то это подпрямое произведение.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.