Русская Википедия:Прямоугольное число

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеет вид <math>R_n = n(n+1),</math> где <math>n\geqslant 1..</math> В части источников также допускается случай <math>R_0 = 0;</math> данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.

Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной <math>n+1</math> и высотой <math>n.</math> Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса.

Начало последовательности прямоугольных чисел:

Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS)

* *	* * * * * *	* * * * * * * * * * * *	* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1×2	2×3	3×4	4×5

Свойства

Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.

Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:

<math>\frac{R_n + R_{n+1}}{2} = (n+1)^2</math>

Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку <math>n^2 < R_n < (n+1)^2 < R_{n+1} < (n+2)^2 </math>).

Файл:Illustration of Triangular Number T 4 Leading to a Rectangle.png

Прямоугольное число 4×5 составлено из двух одинаковых треугольных чисел

<math>n</math>-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному Шаблон:S треугольному числу и на <math>n</math> больше Шаблон:S квадратного числа:

<math>R_n = 2 T_n = n^2+n</math>

Поскольку треугольное число <math>T_n=1+2+3+ \ldots + n,</math> то вдвое большее прямоугольное число <math>R_n</math> равно сумме первых <math>n</math> чётных чисел.

Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует:

• Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей.
• Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как <math>n,</math> так и <math>n+1.</math>
• Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей <math>n</math> и <math>n+1.</math>
• <math> \lfloor{\sqrt{n}}\rfloor \cdot \lceil{\sqrt{n}}\rceil = n.</math> Здесь уголки Айверсона<math>\lfloor{x}\rfloor </math> округляют <math>x</math> до целого в меньшую сторону, а <math>\lceil{x}\rceil</math> — в бо́льшую.

Сумма <math>R_n + C^{(6)}_{n+1}</math> есть квадратное число <math>(2n+1)^2,</math> где <math>C^{(6)}_{n+1}</math> обозначает Шаблон:S по порядку центрированное шестиугольное число.

Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:

<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1.</math>

Применение

Прямоугольное число <math>R_n</math> задаёт:

• число недиагональных элементов квадратной матрицы <math>n\times n</math>;
• число размещений из <math>n+1</math> элементов по 2;
  • в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с <math>(n+1)</math> вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, <math>(n+1)</math> абонент).

Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:

<math>025=5^2,\ 225=15^2,\ 625=25^2,\ 1225=35^2,\ 2025=45^2,\ 3025=55^2, \ldots</math>

Это следует из формулы:

<math>(10n+5)^2 = 100n(n+1) + 25.</math>

Производящая функция

Производящая функция последовательности прямоугольных чиселШаблон:Sfn:

<math>\frac{2x}{(1-x)^3} = 2x + 6x^2 + 12x^3 + 20x^4 + \ldots</math>

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Шаблон:H
• Oblong numbers на сайте Fun With Num3ers Шаблон:Ref-en.