Русская Википедия:Псевдовыпуклая функция
Псевдовыпуклая функция — это функция, которая ведёт себя подобно выпуклой функции с точки зрения нахождения её локального минимума, но не обязательно выпукла. Неформально, дифференцируемая функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где имеет положительную производную по направлению.
Формальное определение
Вещественнозначная функция ƒ, определённая на (непустом) выпуклом открытом множестве X в конечномерном евклидовом пространстве <math>\R^n</math>, называется псевдовыпуклой, если для всех Шаблон:Nowrap, таких что <math>\nabla f(x)\cdot(y-x) \geqslant 0</math>, мы имеем <math>f(y)\geqslant f(x)</math>Шаблон:Sfn. Здесь <math>\nabla f</math> является градиентом ƒ, определённым формулой
- <math>\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).</math>
Свойства
Любая выпуклая функция псевдовыпукла, но обратное неверно. Например, функция <math>f(x) = x + x^3</math> псевдовыпукла, но не выпукла. Любая псевдовыпуклая функция квазивыпукла, но обратное не верно, поскольку функция <math>f(x) = x^3</math> квазивыпукла, но не псевдовыпукла. Псевдовыпуклость представляют в первую очередь интерес, поскольку точка x* является локальным минимумом псевдовыпуклой функции ƒ тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой функции ƒ, что случается при обращении градиента функции ƒ в нуль на x*:
- <math>\nabla f(x^*) = 0.</math>Шаблон:Sfn.
Обобщения на недиффиренцируемые функции
Понятие псевдовыпуклости может быть обобщено на недифференцируемые функции следующим образомШаблон:Sfn. Если дана функция <math>f : X \to \R</math>, то можно определить её верхнюю производную Дини как
- <math>f^+(x,u) = \limsup_{h\to 0^+} \frac{f(x+hu) - f(x)}{h}</math>
где u является любым единичным вектором. Говорят, что функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где верхняя производная Дини положительна. Более точно, её можно описать в терминах субдифференциала <math>\partial f</math> следующим образом:
- Для всех <math>x, y \in X</math>, если существует <math>x^* \in \partial f(x)</math>, такая что <math>\langle x^*, y - x \rangle \geqslant 0 \,,</math> то <math>f(x) \leqslant f(z)</math> для всех z на отрезке, соединяющем x и y.
Связанные понятия
Псевдовогнутая функция — это функция, отрицательная для которой псевдовыпукла. Псевдолинейная функция — это функция, которая одновременно псевдовыпукла и псевдовогнутаШаблон:Sfn. Например, задачи дробно-линейного программирования имеют псевдолинейные целевые функции и линейные ограничения-неравенства. Эти свойства позволяют решать задачи дробного программирования вариантом симплекс-метода (Джорджа Б. Данцига)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
