Русская Википедия:Псевдогруппа преобразований

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия <math>M</math> — семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия <math>M</math> в <math>M</math>, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.

Точное определение

Псевдогруппа преобразований <math>\Gamma</math> многообразия <math>M</math> состоит из локальных преобразований, то есть пар вида <math>p=(D_p,\bar p)</math>, где <math>D_p</math> — открытое подмножество в <math>M</math>, а <math>\bar p</math> — диффеоморфизм <math>D_p\to M</math>, причём предполагается, что

1. <math>p,q\in\Gamma \Rightarrow p\circ q=(\bar q^{-1}(D_p\cap \bar q(D_q)),\bar p\circ \bar q)\in \Gamma</math>
2. <math>p\in\Gamma\Rightarrow p^{-1}=(\bar p(D_p),\bar p^{-1})\in\Gamma</math>
3. <math>(M,id) \in \Gamma</math>,
4. если <math>p</math> — диффеоморфизм открытого подмножества <math>D</math> в <math>M</math> и <math>D=\cup_\alpha D_\alpha</math>, где <math>D_\alpha</math> — открытые подмножества в <math>M</math>, то <math>(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_\alpha,p)\in \Gamma</math> для любого <math>\alpha</math>.

Примеры

• Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
• Пусть <math>M</math> гладкое многообразие и на котором гладко действует группа <math>G</math> тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество <math>\Omega</math> является псевдогруппой преобразований. Точнее <math>p=(D_p,\bar p)</math> содержится в псевдогруппе если <math>\bar p\in G</math> и <math>D_p, \bar p(D_p)\subset \Omega</math>.

Связанные определения

Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на <math>M</math> отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются её орбитами.

Типы псевдогрупп

Псевдогруппа преобразований <math>\Gamma</math> многообразия <math>M</math> называется

• транзитивной, если <math>M</math> — её единственная орбита,
• примитивной, если в <math>M</math> нет нетривиальных гладких <math>\Gamma</math>-инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).

Вариации и обобщения

Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.