Русская Википедия:Псевдодополнение
Псевдодополнение в теории решёток — бинарная операция в решётке, определяемая для элементов решётки <math>a</math> и <math>b</math> как наибольший элемент <math>c</math> такой, что <math>a \land c \leqslant b</math>; обозначение — <math>a \to b</math>, прочтение — «псевдодополнение <math>a</math> относительно <math>b</math>». Импликативная решётка (или брауэрова решётка) — решётка, в которой для каждых двух элементов существует псевдодополнение.
Аксиоматически, импликативная решётка получается присоединением к аксиомам решётки следующих соотношений:
- <math>\forall a,b : a \land (a \to b) \leqslant b</math>,
- <math>\forall a,b,c : a \land c \leqslant b \Rightarrow c \leqslant (a \to b)</math>.
Для импликативных решёток с нулём вводится также унарная операция (абсолютного) псевдодополнения: <math>^\sim a = a \to 0</math>; в этом случае, бинарное псевдодополнение называется относительным псевдодополнением.
Импликативные решётки образуют многообразие. Важнейшие специальные классы импликативных решёток — Шаблон:Iw и булевы алгебры, используемые в качестве моделей интуиционистского и классического исчисления высказываний соответственно.
Свойства
Импликативные решётки являются полугруппами с делением, в которых левому и правому делению <math>a \backslash b</math> и <math>b / a</math> соответствует одна операция <math>a \to b</math>.
Всякая импликативная решётка дистрибутивна; каждая конечная дистрибутивная решётка — импликативна.
Во всякой импликативной решётке имеется максимальный элемент (<math>a \to a</math>), обычно обозначаемый как 1; минимальный элемент в общем случае может не существовать, если он существует — то импликативная решётка образует алгебру Гейтинга.
Для всех элементов <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> всякой импликативной решётки верны следующие утверждения:
- <math>a \leqslant b \Rightarrow b \to c \leqslant a \to c</math>;
- <math>a \leqslant b \Rightarrow c \to a \leqslant c \to b</math>;
- <math>a \leqslant b \to c \Rightarrow a \land b \leqslant c</math>;
- <math>a \to b = 1 \Leftrightarrow a \leqslant b</math>;
- <math>b \leqslant a \to b</math>;
- <math>a \to b \leqslant ((a \to (b \to c)) \to (a \to c))</math>;
- <math>a \leqslant b \to a \land b</math>;
- <math>a \to c \leqslant (b \to c) \to (a \lor b \to c)</math>.
Эти утверждения используются при доказательстве того, что алгебры Гейтинга являются моделями интуиционистского исчисления высказываний.
Подмножество <math>\nabla</math> импликативной решётки <math>A</math> является её фильтром тогда и только тогда, когда <math>1 \in \nabla</math> и <math>(a \in \nabla, a \to b \in \nabla) \Rightarrow b \in \nabla</math>; если <math>\nabla</math> — фильтр, то факторрешётка <math>A / \nabla</math> импликативна, а класс <math>\nabla</math> — её максимальный элемент.
Литература
