Русская Википедия:Псевдолокальность потока Риччи

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Псевдолокальность — одно из свойств потока Риччи, которое качественно отличает его от линейных потоков, например, от уравнения теплопроводности. Свойство утверждает, что если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи для меньшей окрестности.

Псевдолокальность потока Риччи была доказана Перельманом.

Формулировка

Для положительного целого <math>n</math> существуют <math>\delta,\varepsilon>0</math> такие, что выполняется следующее утверждение.

• Пусть <math>M</math> компактное <math>n</math>-мерное многообразие и <math>g_t</math> решение потока Риччи на <math>M</math> определённое во временном интервале <math>[0,\varepsilon^2]</math>. Предположим для некоторой точки <math>x \in M</math> изопериметрическая константа в шаре <math>B(x, 1)_{g_0}</math> не меньше чем <math>(1-\delta)\cdot c_n</math>, где <math>c_n</math> изопериметрическая константа <math>n</math>-мерного евклидова пространства и скалярная кривизна <math>g_0</math> не меньше <math>-1</math> везде в <math>B(x, 1)_{g_0}</math>. Тогда

  <math>|\mathrm{Rm}_{g_t}| \le \tfrac1t + \tfrac1{\varepsilon^2}</math>

во всех точках шара <math>B(x, \varepsilon)_{g_t}</math> при <math>t\in [0,\varepsilon^2]</math>.