Русская Википедия:Псевдоокружность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Псевдоокружность — конечное топологическое пространство, неотличимое от окружности с точки зрения алгебраической топологии.

Построение

Псевдоокружность состоит из четырёх точек <math>\{a,b,c,d\}</math> и наделена топологией со следующими открытыми множествами:

<math>\left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing\right\}</math>.

Замечания

• Эту топологию можно определить через частичный порядок <math>a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d</math>, где открыть наборы замкнутых множеств

Свойства

• С точки зрения общей топологии, псевдоокружность — патологическое пространство, так как оно не удовлетворяет ни одной из аксиом отделимости, кроме Т₀.
• Непрерывное отображение <math>f</math> из окружности <math>\mathbb{S}^1=\{\,(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\,\}</math> в псевдоокружность, определяемое как

  <math>f(x,y)=\begin{cases}a\quad x<0\\b\quad x>0\\c\quad(x,y)=(0,1)\\d\quad(x,y)=(0,-1)\end{cases}</math>,

есть слабая гомотопическая эквивалентность. В частности, <math>f</math> индуцирует изоморфизмы всех гомотопических групп, а также изоморфизм на сингулярные гомологиях и когомологиях и вообще изоморфизм для всех теорий гомологий и когомологий.

Вариации и обобщения

• Павел Сергеевич Александров показал, что для любого конечного симплициального комплекса К существует конечное топологическое пространство Х_К, которое имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация |К|.