Русская Википедия:Псевдопростое число

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Псевдопростое число — натуральное число, обладающее некоторыми свойствами простых чисел, являясь тем не менее составным. В зависимости от рассматриваемых свойств существует несколько различных типов псевдопростых чисел.

Существование псевдопростых является препятствием для тестов простоты, пытающихся использовать те или иные свойства простых чисел для определения простоты данного числа.

Псевдопростые Ферма

Шаблон:Main Составное число n называется псевдопростым Ферма по основанию a, если a и n взаимно просты и <math>a^{n-1} \equiv 1\pmod{n}</math>.

Псевдопростые Ферма по основанию 2 образуют последовательность:

341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, … (Шаблон:OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2465, 2665, 2701, 2821, … (Шаблон:OEIS)

Число, являющееся псевдопростым Ферма по каждому взаимно простому с ним основанию, называется числом Кармайкла.

Псевдопростые Эйлера — Якоби

Нечётное составное число n называется псевдопростым Эйлера — Якоби по основанию a, если оно удовлетворяет сравнению

<math>a^{(n-1)/2} \equiv \left( \frac{a}{n} \right) \pmod{n},</math>

где <math>\left( \frac{a}{n} \right)</math> — символ Якоби. Так как из этого сравнения следует, что <math>a^{n-1} \equiv 1\pmod{n},</math> то всякое псевдопростое Эйлера — Якоби также является псевдопростым Ферма (по тому же основанию).

Псевдопростые Эйлера — Якоби по основанию 2 образуют последовательность:

561, 1105, 1729, 1905, 2047, 2465, 3277, 4033, 4681, 6601, 8321, 8481, 10585, … (Шаблон:OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

121, 703, 1729, 1891, 2821, 3281, 7381, 8401, 8911, 10585, 12403, 15457, 15841, … (Шаблон:OEIS)

Псевдопростые Фибоначчи

Основная статья: Псевдопростое число Фибоначчи

Псевдопростые Люка

Основная статья: Псевдопростое число Люка

Псевдопростые Перрина

Составное число q называется псевдопростым Перрина, если оно делит q-е число Перрина P(q), задаваемое рекуррентным соотношением:

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

и

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) for n > 2.

Псевдопростые Фробениуса

Псевдопростое число, прошедшее трёхшаговый тест принадлежности к возможно простым числам, разработанный Джоном Грантамом (Jon Grantham) в 1996-м году.

Псевдопростые Каталана

Нечётное составное число n, удовлетворяющее сравнению

<math> (-1)^{\frac{n-1}{2}} \cdot C_{\frac{n-1}{2}} \equiv 2 \pmod n,</math>

где C_m — m-ое число Каталана. Сравнение верно для любого нечётного простого числа n.

Известно только три псевдопростых чисел Каталана: 5907, 1194649, и 12327121 (Шаблон:OEIS), причём два последних из них являются квадратами простых чисел Вифериха. В общем случае, если p — простое число Вифериха, то p² — псевдопростое Каталана.

См. также

• Тест Соловея — Штрассена
• Тест Миллера — Рабина
• Сильное псевдопростое число
• Псевдопростые числа Ферма

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Catalan pseudoprimes. Research in Scientific Computing in Undergraduate Education.

Внешние ссылки