Русская Википедия:Псевдохарактер
Псевдохарактер — вещественнозначная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму.
Понятие псевдохарактера было введено в докладе А. И. Штерна на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 годуШаблон:Sfn. Оно находит применения в комбинаторной теории групп, в теории групп диффеоморфизмов, в теории Шаблон:Нп5, в симплектической геометрии и в теории представлений группШаблон:Sfn.
Определение
Функция <math>f\colon G \to \R</math> на группе <math>G</math> называется квазихарактеромШаблон:Sfn (или квазиморфизмом), если существует такая константа <math>D\geq 0</math>, что для любых <math>x,y \in G</math> выполняется неравенство <math>|f(xy) - f(x) - f(y)| \leq D</math>. Или, что то же самое,
- <math>f(x) + f(y) - D \leq f(xy) \leq f(x) + f(y) + D</math>.
Квазихарактер <math>f</math> называется псевдохарактером, если он обладает свойством однородности: для любых <math>x \in G</math> и <math>n \in \Z</math> выполняется
- <math>f(x^n) = n f(x)</math>.
Или, иными словами, его ограничение на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом.
Вспомогательные определения
Дефектом квазихарактера <math>f</math> называется супремум
- <math>D_f := \sup_{x,y\in G} |f(xy) - f(x) - f(y)|</math>.
Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характеромШаблон:Sfn.
Два квазихарактера <math>f</math> и <math>g</math> называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен:
- <math>\|f-g\|_\infty := \sup_{x\in G} |f(x)-g(x)|</math>.
Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму. Примером такого квазиморфизма является произвольная ограниченная числовая функция на группе.
Пространство псевдохарактеров
Множество всех квазихарактеров на группе <math>G</math> обозначается символом <math>\mathcal{X}(G)</math>. Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов <math>G \to \R</math>, рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры.
Дефект является Шаблон:Нп5 на пространстве <math>\mathcal{X}(G)</math>Шаблон:Sfn.
Множество всех псевдохарактеров на группе <math>G</math> является векторным подпространством пространства <math>\mathcal{X}(G)</math> и обозначается символом <math>\mathcal{PX}(G)</math>. Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов <math>{\rm Hom}(G,\R)</math>.
Усреднение квазихарактеров
Каждый квазихарактер <math>f \colon G \to \R</math> можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим
- <math>\overline{f}(x):=\lim_{n\to\infty}\frac{f(x^n)}{n}</math>.
Тогда данный предел всегда существует, а функция <math>\overline{f}\colon G \to \R</math> является псевдохарактером, дефект которого не превосходит <math>4D_f</math>, и выполняется неравенство <math>\|f-\overline{f}\|_\infty \leq D_f</math>Шаблон:Sfn. Более того, функция <math>\overline{f}</math> является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру <math>f</math>Шаблон:Sfn.
Отображение <math>f \mapsto \overline{f}</math>, ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше квазинормы) и является проектором <math>\mathcal{X}(G) \to \mathcal{PX}(G)</math>Шаблон:Sfn. В частности, если квазихарактер <math>f</math> является псевдохарактером, то <math>\overline{f} = f</math>.
С помощью данного проектора пространство <math>\mathcal{PX}(G)</math> возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства <math>\mathcal{X}(G)</math> по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру.
Свойства
Значения произвольного псевдохарактера на сопряженных элементах группы совпадают: <math>f(yxy^{-1})=f(x)</math> для любых <math>x,y \in G</math>. Таким образом, каждый псевдохарактер является Шаблон:Нп5, то есть задаёт функцию на множестве классов сопряженности группы.
Если элементы <math>x,y \in G</math> коммутируют, то <math>f(xy) = f(x) + f(y)</math>. Таким образом, ограничение любого псевдохарактера на произвольную коммутативную подгруппу является гомоморфизмом. В частности, в случае коммутативных групп понятия псевдохарактера и гомоморфизма совпадают.
Примеры
Обозначим символом <math>{\rm Homeo}_+(\R)</math> группу сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов вещественной прямой, а символом <math>\widetildeШаблон:\rm Homeo_+(S^1)</math> — её подгруппу, состоящую из гомеоморфизмов <math>f\colon \R\to \R</math>, удовлетворяющих условию <math>f(x+1) = f(x)+1</math> для любого <math>x\in\R</math>, то есть коммутирующих с единичным сдвигом <math>x \mapsto x+1</math>. Число переноса представляет собой псевдохарактер на группе <math>\widetildeШаблон:\rm Homeo_+(S^1)</math>, дефект которого не превосходит единицыШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Символ Радемахера представляет собой квазихарактер на специальной линейной группе <math>{\rm SL}_2(\Z)</math>. Соответствующий ему псевдохарактер называется псевдохарактером РадемахераШаблон:SfnШаблон:Sfn. Аналогичная конструкция рассматривается на модулярной группе <math>{\rm PSL}_2(\Z)</math>.
Антье Деорнуа представляет собой квазихарактер с единичным дефектом на группе кос <math>B_n</math>. Соответствующий ему псевдохарактер называется закрученностьюШаблон:Sfn.
Считающие квазихарактеры
Пусть <math>F(S)</math> — свободная группа с базисом <math>S</math>. С каждым приведённым словом <math>w \in F(S)</math> следующим образом свяжем пару квазихарактеров на <math>F(S)</math>.
Для <math>x \in F(S)</math> положим <math>C_w(x)</math> равным количеству вхождений слова <math>w</math> в приведённое слово-представителя элемента <math>x</math>. Например, при <math>S=\{a\}</math> имеем <math>C_{aa}(aaaa) = 3</math>. Далее, положим <math>C_w(x)</math> равным наибольшему значению количества непересекающихся вхождений слова <math>w</math> в приведённое слово-представителя элемента <math>x</math>. Например, <math>C_{aa}(aaaa) = 2</math>.
Определим <math>H_w(x) := C_w(x) - C_{w^{-1}}(x)</math> и <math>h_w(x) := c_w(x) - c_{w^{-1}}(x)</math>. Функции <math>H_w</math> и <math>h_w</math> являются квазихарактерами на свободной группе <math>F(S)</math> и называются, соответственно, большой считающей (от Шаблон:Lang-en) и малой считающей (от Шаблон:Lang-en). Большие считающие квазихарактеры были введены Шаблон:Нп5 и иногда называются функциями Брукса, а малые считающие квазихарактеры были введены Шаблон:Нп5 и Шаблон:Нп5Шаблон:Sfn.
Например, при <math>S = \{x_1,\ldots,x_n\}</math> и <math>i \in \{1,2,\ldots,n\}</math> имеем <math>H_{x_i}=h_{x_i}</math>, причем квазихарактеры <math>H_{x_1}, H_{x_2}, \ldots, H_{x_n}</math> являются гомоморфизмами и порождают группу гомоморфизмов <math>{\rm Hom}(F(S),\Z)</math>Шаблон:Sfn.
Дефект большого считающего квазихарактера <math>H_w</math> не превосходит числа <math>3\cdot (|w|-1)</math>, где символ <math>|w|</math> обозначает количество букв в слове <math>w</math>. Данная оценка точна, как показывает пример <math>w = abababababa</math>. Однако дефект малого считающего квазихарактера <math>h_w</math> всегда не превосходит трёх. Более того, он равен нулю только если <math>|w|=1</math>, равен двойке только если <math>w</math> имеет вид <math>w_1w_2w_1^{-1}</math>, <math>w_1w_2w_1^{-1}w_3</math> или <math>w_1w_2w_3w_2^{-1}</math>, а иначе равен единицеШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
Ссылки
