Русская Википедия:Пфаффиан
Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера <math>2n\times 2n</math>, и в этом случае его степень равна n.
Примеры
- <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.</math>
- <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>
- <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.</math>
Определение
Пусть <math>\Pi</math> обозначает множество всех разбиений множества <math>\{1, 2,\dots, 2n\}</math> на неупорядоченные пары (всего существует <math>(2n-1)!!</math> таких разбиений). Разбиение <math>\alpha\in \Pi</math> может быть записано
- <math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}</math>
где <math>i_k<j_k</math> и <math>i_1 < i_2 < \cdots < i_n</math>. Пусть
- <math>\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}</math>
обозначает соответствующую перестановку, а <math>\mbox{sgn}(\alpha)</math> — знак перестановки <math>\pi</math>. Нетрудно видеть, что <math>\mbox{sgn}(\alpha)</math> не зависит от выбора <math>\pi</math>.
Пусть <math>A = \{a_{ij}\}</math> обозначает <math>2n\times 2n</math> кососимметричную матрицу. Для разбиения <math>\alpha</math> определим
- <math> A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.</math>
Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как
- <math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.</math>
Пфаффиан кососимметричной матрицы размера <math>n\times n</math> для нечётного n равен нулю по определению.
Рекурсивное определение
Пфаффиан матрицы размера <math>0\times 0</math> полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера <math>2n\times 2n</math> при <math>n > 0</math> может быть определён рекурсивно следующим образом:
- <math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{{j=1}\atop{j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta(i-j)}a_{ij}\operatorname{Pf}(A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}),</math>
где индекс <math>i</math> может быть выбран произвольно, <math>\theta(i-j)</math> — функция Хевисайда, <math>A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}</math> обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.
Альтернативное определение
Для <math>2n\times 2n</math> кососимметричной матрицы <math>A = \{a_{ij}\}</math> рассмотрим бивектор:
- <math>\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.</math>
где <math>\{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\}</math> есть стандартный базис в <math>\mathbb R^{2n}</math>. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:
- <math>\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},</math>
где <math>\omega^{\wedge n}</math> обозначает внешнее произведение n копий <math>\omega</math>.
Свойства
Для <math>2n\times 2n</math> кососимметричной матрицы <math>A</math> и для произвольной <math>2n\times 2n</math> матрицы <math>B</math>:
- <math>\mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)</math>
- <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)</math>
- <math>\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)</math>
- <math>\mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)</math>
- Для блок-диагональной матрицы
- <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).</math>
- Для произвольной <math>n\times n</math> матрицы <math>M</math>:
- <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} =
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>
История
Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.
Примечания
Литература
