Русская Википедия:Пятая проблема Гильберта

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Пятая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладе[1][2] на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Пятая проблема Гильберта относится к теории топологических групп преобразований и групп Ли. Для важных частных случаев решения были получены в 1933 и 1934 годах, окончательно решена в 1952 году.

Формулировка проблемы

Топологическая группа преобразований состоит из топологической группы <math> G </math>, топологического пространства <math> X </math> и непрерывного действия группы <math> G</math> на <math> X</math>, которое является непрерывным отображением

<math>\varphi\colon G \times X \to X,\ (g, x) \to gx,</math>

обладающим следующими двумя свойствами:

  1. <math>ex = x</math> для всех <math>x \in X</math>, где <math>e</math> — единичный элемент из <math>G</math>,
  2. <math>g(g'x) = (gg')x</math> для всех <math>g, g' \in G</math> и для всех <math>x \in X</math>.

Топологическая группа <math>G</math> является группой Ли, если <math>G</math> — вещественно-аналитическое многообразие, а умножение <math>\mu\colon G \times G \to G,\ (g, g') \to gg'</math> — вещественно-аналитическое отображение. Тогда по теореме о неявной функции отображение <math>\iota \colon G \to G,\ g \to g ^{-1}</math> является вещественно-аналитическим. Если <math>G</math> — группа Ли, <math>X</math> — вещественно-аналитическое многообразие, а действие <math>\varphi</math> группы <math>G</math> на <math>X</math> — вещественно-аналитическое, то имеем группу вещественно-аналитических преобразований.

Пусть <math>G</math> — локально евклидова топологическая группа. Тогда возникает вопрос о том, можно ли всегда снабдить <math>G</math> вещественно-аналитической структурой такой, что умножение

<math>\mu\colon G \times G \to G</math>

будет вещественно-аналитическим? Этот вопрос, на который впоследствии был дан положительный ответ, и считается сегодня пятой проблемой Гильберта.[3]

Решение проблемы

Для компактных групп пятая проблема была решена фон Нейманом[4] в 1933 году. Для локально компактных коммутативных групп и некоторых других частных случаев проблему решил Понтрягин[3][5][6] в 1934 году. Эти доказательства были получены с помощью результата венгерского математика Альфреда Хаара[7], который построил на локально компактной топологической группе инвариантную меру[8].

Центральным пунктом общего доказательства оказался вопрос о существовании «малых» подгрупп в сколь угодно малой окрестности единицы (кроме самой единицы). Группы Ли таких подгрупп не имеют. Значительный вклад в решение внёс Глизон (Глисон)[9], доказавший, что каждая конечномерная локально компактная топологическая группа <math>G</math>, которая не имеет малых подгрупп, является группой Ли.

Окончательное решение получении в 1952 году Монтгомери и Шаблон:Iw, которые доказали, что у локально связной конечномерной локально компактной топологической группы нет малых подгрупп.[10]. Поскольку всякая локально евклидова топологическая группа является локально связной, локально компактной и конечномерной, то из этих двух результатов вытекает следующее утверждение.

Теорема. Каждая локально евклидова группа является группой Ли.

Как впоследствии показал Глушков, данная теорема допускает обобщения[11].

Этот результат часто рассматривают как решение пятой проблемы Гильберта, но поставленный Гильбертом вопрос носил более широкий характер и касался групп преобразований <math>\varphi\colon G \times X \to X</math> для случая, когда многообразие <math>X</math> не совпадает с <math>G</math>[3][12].

Ответ на общий вопрос Гильберта в случае топологических непрерывных действий оказался отрицательным даже для тривиальной группы <math>G = \{e\}</math>. Существуют топологические многообразия, не имеющие никакой гладкой структуры, а значит, не имеющие и вещественно-аналитической структуры[13].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Проблемы Гильберта

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Шаблон:Книга Шаблон:Cite web
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Пятая проблема Гильберта : Обзор.
  4. ↑ Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Math. — 1933. — 34. — C. 170—190
  5. ↑ Шаблон:Cite web
  6. ↑ Pontryagin L. S. Topological groups. — Princeton: Univ. Press, 1939
  7. ↑ Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
  8. ↑ Шаблон:Книга
  9. ↑ Gleason A. M. Groups without small subgroups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 193—212.
  10. ↑ Montgomery D., Zippin L. Small subgroups of finite-dimensional groups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 213—241.
  11. ↑ В. М. Глушков. Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта, УМН, 1957, том 12, выпуск 2(74), 3—41.
  12. ↑ Montgomery D. Topological transformation groups // Proc. Int. Congr. Math. — 1954. — Vol. III. — Groningen-Amsterdam. — 1956. — С. 185—188 (РЖМат, 1958, 8602).
  13. ↑ Kervaire M. A. A manifold which does not admit any differentiable structure // Comment. Math. Helv. — 1960. — 34. — С. 257—270.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Пятая_проблема_Гильберта&oldid=10668208