Русская Википедия:Пятиугольное число
Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (Шаблон:OEIS):
Общая формула для <math>n</math>-го по порядку пятиугольного числа:
- <math>P^{(5)}_n = {\frac{3n^2-n}{2}}</math>
Определение
Пятиугольные числа, как и все прочие классические <math>k</math>-угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна <math>k-2=3</math>:
- <math>1+4+7+10+\dots</math>
Можно также определить <math>n</math>-е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:
- <math>P^{(5)}_n = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + \dots + (2n-1)</math>
Сумма <math>n</math>-го квадратного числа с <math>(n-1)</math>-м треугольным числом даёт <math>n</math>-е пятиугольное число:
- <math>n^2 + T_{n-1}= P^{(5)}_n</math>
Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век)[1].
Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:
- <math>P^{(5)}_1 = 1;\quad P^{(5)}_n = P^{(5)}_{n-1} + 3n - 2 = 2P^{(5)}_{n-1} - P^{(5)}_{n-2} + 3</math>
Свойства
Пятиугольные числа тесно связаны с треугольнымиШаблон:Sfn:
- <math>P^{(5)}_n = \frac{n(3n-1)}{2} = T_{n-1} + n^2 = T_n + 2T_{n-1} = T_{2n-1} - T_{n-1} = \frac{1}{3}T_{3n-1}</math>
Если в формуле <math display="inline">\frac{n(3n-1)}{2}</math> указать для <math>n</math> более общую последовательность:
- <math>n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots</math>
то получатся обобщённые пятиугольные числа:
- 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (Шаблон:OEIS)
Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:
- <math>(1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)\ldots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - x^{35} - x^{40} + \ldots</math>
Степени <math>x</math> в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел[2].
Проверка на пятиугольное число
Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число <math>x>2</math> пятиугольным.
Решение. Вычислим значение выражения:
- <math>n = \frac{\sqrt{24x+1} + 1}{6}.</math>
<math>x</math> является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда <math>n</math> — целое число, причём номер <math>x</math> в последовательности пятиугольных чисел равен <math>n.</math>
Квадратные пятиугольные числа
Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные[3]:
- 0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (Шаблон:OEIS
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:ВС Шаблон:Фигурные числа
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокDICK2не указан текст - ↑ Шаблон:Публикация
- ↑ Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number Шаблон:Wayback." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
