Русская Википедия:Пятиугольный паркет
Пятиугольный паркет — в геометрии: замощение, составленное из выпуклых пятиугольников. Замощение из правильных пятиугольников в евклидовом пространстве невозможно, поскольку общий угол правильного пятиугольника равен 108° и не делит ни 180°, ни 360°. Однако ими можно Шаблон:Iw гиперболическую плоскость и сферу.
Для плоскости же задача о полном описании всех возможных замощений неправильными пятиугольниками (описания всех видов пятиугольников, для которых возможно такое замощение) является очень сложной и исследования по ней ведутся больше века.
Замощение плоскости одной выпуклой плиткой
Количество паркетов из одной выпуклой плитки
Пятиугольные паркеты вообще
Предполагается, что существует всего 15 классов пятиугольников, бесконечные паркеты из которых могут замостить плоскость. Поиск всех таких классов продолжался до 2015 года, а 1 мая 2017 года Микаэль Рао предъявил доказательство того, что других таких пятиугольников не существует[1][2]. По состоянию на декабрь 2017 года компьютерная программа, используемая и специально написанная для доказательства теоремы, независимо воспроизведена и проверена Шаблон:Iw, профессором математики Питсбургского университета[3][4], а остальная часть статьи всё ещё находится на рецензировании.
Паркеты типа «ребро к ребру»
Более простой задачей является отыскание всех паркетов, составляющих замощение «ребро к ребру», то есть когда ни одна сторона ни одной плитки не совпадает сразу с двумя сторонами двух других (или, другими словами, когда никакая из вершин многоугольников замощения не лежит посреди некоторой стороны другого многоугольника).
Всего существует восемь видов пятиугольных паркетных выпуклых плиток «ребро к ребру». Тот факт, что других таких видов паркетных плиток, кроме уже найденных, не существует, был доказан Ольгой Багиной на Омском алгебраическом семинаре в 2011 году[5]. Доказательство было опубликовано в 2017 году[6].
Независимо от Багиной доказательство получил также Сугимото (Sugimoto) в 2012 году[7].
Известные типы паркетов
Ни один из пятнадцати известных классов доступных для замощения пятиугольников не накрывается полностью объединением других. Тем не менее, некоторые пары классов могут пересекаться. Кроме того, в некоторых классах есть многоугольники, для которых кроме стандартной схемы замощения плоскости плитками этого класса существуют ещё и альтернативные способы замощения.
В приведенной классификации плиток углы пятиугольника обозначены через A,B,C,D,E, а длины его сторон через a, b, c, d, e, где |EA|=a, |AB|=b, |BC|=c, |CD|=d, |DE|=e. Многие из этих классов имеют степени свободы, выражающиеся уравнениями для углов и сторон. В частности, классы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 допускают параметры, при которых пятиугольники становятся невыпуклыми.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Файл:Prototile p5-type1.png B+C=180° A+D+E=360° |
Файл:Prototile p5-type2.png c=e B+D=180° |
Файл:Prototile p5-type3.png a = b, d = c + e A = C = D = 120° |
Файл:Prototile p5-type4.png b = c, d = e B = D = 90° |
Файл:Prototile p5-type5.png a = b, d = e A = 60°, D = 120° | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| Файл:Prototile p5-type6.png a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E |
Файл:Prototile p5-type7.png b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360° |
Файл:Prototile p5-type8.png b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360° |
Файл:Prototile p5-type9.png b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360° |
Файл:Prototile p5-type10.png a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360° | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
| Файл:Prototile p5-type11.png 2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180° |
Файл:Prototile p5-type12.png 2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180° |
Файл:Prototile p5-type13.png d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360° |
Файл:Prototile p5-type14.png 2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145,34°, C ≈ 69,32°, D ≈ 124,66°, E ≈ 110,68° (2B + C = 360°, C + E = 180°). |
Файл:Prototile p5-type15.png a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90° | |
Периодические замощения могут быть характеризованы своей Шаблон:Iw, например, p2 (2222) для замощений, содержащих 4 точки вращения (с учётом параллельного переноса) порядка 2 (изображение переходит в себя при повороте на 360/2=180°). Это используется далее в иллюстрациях, где одинаковыми цветами показаны, плитки мозаики, переходящие друг в друга при соответствующем повороте.
Примитивной ячейкой будем называть наименьшую из плиток, которая при копировании и переносе образует всю данную мозаику.
Типы 1,2,3,4,5 (Рейнхардт, 1918)
Первые пять типов замощений описал в 1918 году Шаблон:Iw.[8] Все эти пять замощений были изоэдральными, то есть каждую из плиток можно было перевести в каждую другую обычным поворотом и переносом, без применения зеркального отражения.
Грюнбаум и Шефард показали, что существует ровно 24 типа различных изоэдральных замощений.Шаблон:Sfn Все эти 24 типа принадлежали к классам, описанным Рейнхардтом, но иногда требовали добавочных условий. Существует по два изоэдральных замощения для каждого набора из типа 2, и по одному для каждого из четырёх остальных. 15 из 18 остальных типов представляют собой специальные случаи замощения типа 1. 9 из 24 типов относятся к паркетам «ребро к ребру».Шаблон:Sfn
Группы симметрий рядом с картинками ниже приведены в Шаблон:Iw.
Для плиток первого типа существует множество способов замощения плоскости ими. Ниже приведены пять топологически разных примеров замощения:
| p2 (2222) | cmm (2*22) | cm (*×) | pmg (22*) | pgg (22×) | p2 (2222) | cmm (2*22) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p1 (°) | p2 (2222) | p2 (2222) | ||||
| Файл:P5-type1.png | Файл:P5-type1 p4g.png | Файл:P5-type1 pm.png | Файл:P5-type1 p2.png | Файл:P5-type1 pgg-chiral coloring.png | Файл:P5-type1 1u.png | Файл:P5-type1 1u 90.png |
| Примитивная ячейка из 2 плиток | Примитивная ячейка из 4 плиток | |||||
| Файл:Lattice p5-type1.png B + C = 180° A + D + E = 360° |
Файл:Lattice p5-type1 cm.png a = c, d = e A + B = 180°, A + D + E = 360° |
Файл:Lattice p5-type1 pmg.png a = c A + B = 180°, C + D + E = 360° |
Файл:Lattice-p5-type1 pgg.png a = e B + C = 180°, A + D + E = 360° |
Файл:Lattice p5-type1 1u.png d = c + e A = 90°, C + D = 180° 2B + C = 360° B + E = 270° | ||
| Тип 2 | |
|---|---|
| pgg (22×) | |
| p2 (2222) | |
| Файл:P5-type2-chiral coloring.png | Файл:P5-type2b p2.png |
| Примитивная ячейка из 4 плиток | |
| Файл:Lattice p5-type2.png c = e B + D = 180° |
Файл:Lattice p5-type2b.png c = e, d = b B + D = 180° |
| Тип 3 | Type 4 | Type 5 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| p3 (333) | p31m (3*3) | p4 (442) | p4g (4*2) | p6 (632) | ||
| Файл:P5-type3.png | Файл:P5-type3 p3m1.png | Файл:P5-type4.png | Файл:P5-type4 p4g.png | Файл:P5-type5.png | Файл:P5-type5 p6m.png | Файл:P5-type5 rice p6.png |
| Файл:Pentagonal tiling type 4 animation.gif | Файл:Pentagonal tiling type 5 animation.gif | |||||
| Примитивная ячейка из 3 плиток | Примитивная ячейка из 4 плиток | Примитивная ячейка из 6 плиток | Примитивная ячейка из 18 плиток | |||
| Файл:Lattice p5-type3.png a = b, d = c + e A = C = D = 120° |
Файл:Lattice p5-type4.png b = c, d = e B = D = 90° |
Файл:Lattice p5-type5.png a = b, d = e A = 60°, D = 120° |
Файл:Lattice p5-type5 rice p6.png a = b = c, d = e A = 60°, B = 120°, C = 90° D = 120°, E = 150° | |||
Типы 6,7,8 (Кершнер, 1968)
Ричард Кершнер в 1968 году описал ещё три типа плиток. Он утверждал, что, кроме найденных теперь восьми типов, других не существует, но оказался не прав.
В типах 7 и 8 впервые появляются хиральные плитки (то есть для полного описания орбит симметрии впервые приходится использовать не только вращения, но и отражения). На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).
Все представленные ниже примеры 2-изоэдральны.
| Type 6 | Type 6 (Also type 5) |
Type 7 | Type 8 | |
|---|---|---|---|---|
| p2 (2222) | pgg (22×) | pgg (22×) | ||
| p2 (2222) | p2 (2222) | |||
| Файл:P5-type6.png | Файл:P5-type6 parallel.png | Файл:P5-type7-chiral coloring.png | Файл:P5-type8-chiral coloring.png | |
| Файл:Pentagonal tiling type 6 animation.gif | Файл:Pentagonal tiling type 7 animation.gif | Файл:Pentagonal tiling type 8 animation.gif | ||
| Файл:Prototile p5-type6.png a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E |
Файл:Prototile p5-type6 parallel.png a = d = e, b = c B = 60°, A = C = D = E = 120° |
Файл:Prototile p5-type7.png b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360° |
Файл:Prototile p5-type8.png b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360° | |
| Файл:Lattice p5-type6.png Примитивная ячейка из 4 плиток |
Файл:Lattice p5-type6 parallel.png Примитивная ячейка из 4 плиток |
Файл:Lattice p5-type7.png Примитивная ячейка из 8 плиток |
Файл:Lattice p5-type8.png Примитивная ячейка из 8 плиток | |
Тип 10 (Джеймс, 1975)
Изучив результаты Кершнера в колонке Мартина Гарднера «Математические игры» журнала Scientific American, Ричард Джеймс нашёл ещё один тип пятиугольников, который сейчас именуется типом 10.
Представленные здесь примеры 3-изоэдральны.
| Type 10 | |
|---|---|
| p2 (2222) | cmm (2*22) |
| Файл:P5-type10.png | Файл:P5-type10 cmm.png |
| Файл:Pentagonal tiling type 10 animation.gif | |
| Файл:Prototile p5-type10.png a=b=c+e A=90, B+E=180°, B+2C=360° |
Файл:Prototile p5-type10 cmm.png a=b=2c=2e A=B=E=90°, C=D=135° |
| Файл:Lattice p5-type10.png Примитивная ячейка из 6 плиток | |
Типы 9, 11, 12, 13 (Райс, 1977)
Математик-любитель Марджори Райс в 1976 и 1977 году нашла ещё четыре типа плиток, подходящих для замощения.
Все четыре типа паркетов 2-изоэдральны. На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).
Из всех четырёх типов только тип 9 даёт замощение типа «ребро к ребру».
Примитивные ячейки везде содержат по 8 плиток.
| Type 9 | Type 11 | Type 12 | Type 13 |
|---|---|---|---|
| pgg (22×) | |||
| p2 (2222) | |||
| Файл:P5-type9-chiral coloring.png | Файл:P5-type11 chiral coloring.png | Файл:P5-type12-chiral coloring.png | Файл:P5-type13-chiral coloring.png |
| Файл:Pentagonal tiling type 9 animation.gif | Файл:Pentagonal tiling type 11 animation.gif | Файл:Pentagonal tiling type 12 animation.gif | Файл:Pentagonal tiling type 13 animation.gif |
| Файл:Prototile p5-type9.png b=c=d=e 2A+C=D+2E=360° |
Файл:Prototile p5-type11.png 2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° |
Файл:Prototile p5-type12.png 2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° |
Файл:Prototile p5-type13.png d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360° |
| Файл:Lattice p5-type9.png Примитивная ячейка из 8 плиток |
Файл:Lattice p5-type11.png Примитивная ячейка из 8 плиток |
Файл:Lattice p5-type12.png Примитивная ячейка из 8 плиток |
Файл:Lattice p5-type13.png Примитивная ячейка из 8 плиток |
Тип 14 (Стейн, 1985)
Четырнадцатую мозаику нашёл Рольф Стейн в 1985 году. Найденное им замощение 3-изоэдрально и не относится к типу «ребро к ребру».
Более того, его замощение состоит из строго фиксированных плиток — никакой вариабельности через уравнения на углы, как в предыдущих типах, никаких степеней свободы здесь нет. Вот некоторые параметры этой фиксированной плитки:
- <math>b = a \sqrt{\frac{11 \sqrt{57}-25}{8}}</math>
- <math>\sin(B)=\frac{\sqrt{57}-3}{8}</math>
- <math>\cos(B)=-\sqrt{\frac{3 \sqrt{57}-1}{32}}</math>
- <math>\tan(B)=-\frac{1}{4} \sqrt{3 \sqrt{57}-15}</math>
Из этих значений можно легко вывести остальные.
Примитивная ячейка такого замощения содержит шесть плиток.
| Type 14 | |||
|---|---|---|---|
| pgg (22×) | |||
| Файл:P5-type14.png | Файл:Prototile p5-type14.png 2a=2c=d=e A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°, D≈124.66°, E≈110.68° (2B+C=360°, C+E=180°). |
Файл:Lattice p5-type14.png Примитивная ячейка из 6 плиток | |
Тип 15 (Манн, Маклауд, фон Дюрей, 2015)
Исследователи из Вашингтонского университета в Ботелле, математики Кейси Манн, Джениффер Маклауд и Дэвид фон Дюрей в 2015 году, используя компьютерные вычисления, нашли пятнадцатый тип паркета. Их работа была опубликована в октябре 2015 года.[9]
Эта мозаика не относится к типу «ребро к ребру». Она 3-изоэдральна (это обеспечивается двумя симметриями — поворотом на 180° относительно центра стыка светло-жёлтых плиток одной элементарной ячейки и зеркальным отражением относительно центра стыка светло-жёлтых плиток из двух разных элементарных ячеек). В мозаике есть хиральные плитки — на рисунке они обозначены парами цветов (жёлтый, светло-жёлтый), (синий, голубой), (красный, розовый). Примитивная ячейка содержит 12 плиток.
Так же, как паркет типа 14, этот паркет может быть построен из одной единственной плитки, никаких степеней свободы для изменения углов и длин сторон нет.
| Type 15 | ||
|---|---|---|
| Файл:P5-type15-chiral coloring.png (Larger image) |
Файл:Prototile p5-type15.png a=c=e, b=2a, d=Шаблон:Radica A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90° |
Файл:Lattice p5-type15.png Примитивная ячейка из 12 плиток |
Непериодические паркеты
Непериодические паркеты из пятиугольных плиток также существуют. Они имеют радиальную симметрию, то есть совпадают с собой после поворота на некоторый угол относительно центра.
Ниже мы будем говорить о замощении с радиальной симметрией порядка <math>k</math> если оно совпадает с собой после поворота на <math>\frac{2 \pi}{k}</math> относительно центральной точки.
В 2016 году Бернард Клаасен показал, что для любого <math>k \ge 2</math> существует непериодическое пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка <math>k</math>[10][11]. Его метод построения заключался в том, чтобы заполнять плоскость парами пятиугольников, состыкованных по одной стороне таким образом, что он образуют шестиугольник. Если один из углов пятиугольника равен <math>\frac{2 \pi}{k}</math> и длины сторон подобраны правильным образом, то, начиная от тривиально состыкованных вокруг одной точки таких пятиугольников, можно предсказуемо заполнять окружающие их слои один за другим.
| Файл:Pentagonal tiling with 5-fold rotational symmetry.png Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 5 |
Файл:Непериодический пятиугольный паркет.png Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 6 |
Файл:Pentagonal tiling with 7-fold rotational symmetry.png Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 7 |
Файл:Nonperiodic monohedral pentagons tilings.png Пример замощения Клаасена для <math>k=7</math> |
Паркеты, двойственные однородным
Существует три типа паркетов, двойственных однородным. Все эти паркеты относятся к типу «ребро к ребру». Симметрии в двойственных паркетах совпадают с симметриями в соответствующих однородных. Поскольку однородные паркеты изогональны, до двойственные им — изоэдральны.
| cmm (2*22) | p4g (4*2) | p6 (632) |
|---|---|---|
| Файл:1-uniform 8 dual color1.png | Файл:1 uniform 9 dual color1.png | Файл:1-uniform 10 dual color1.png |
| Призматический пятиугольный паркет Экземпляр типа 1[8] |
Каирская пятиугольная мозаика Экземпляр типа 4[8][12] |
Цветочная пятиугольная мозаика Экземпляр типов 1, 2 и 5 |
| Файл:33344 tiling face purple.png 120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4 |
Файл:33434 tiling face green.png 120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4 |
Файл:33336 tiling face yellow.png 120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6 |
Замощение плоскости несколькими плитками
Паркеты, двойственные k-однородным
Другие k-однородные паркеты, все вершины которых имеют по пять исходящих рёбер, также имеют двойственные пятиугольные паркеты, но состоящие из нескольких разных плиток. Однако никаких других плиток кроме трёх, фигурирующих в обычных паркетах, двойственных однородным, в них не появляется.
Паркеты, двойственные k-однородному, являются k-изоэдральными.
Ниже для примера приведены пятиугольные паркеты, двойственные 2,3,4 и 5-однородным, а также отдельно (ниже каждого) — плитки, составляющие их.
Пятиугольно-шестиугольные мозаики
Пятиугольники находятся в интересных соотношениях с шестиугольниками. Некоторые виды шестиугольников могут быть разбиты на пятиугольники — в частности, отдельный шестиугольник может быть разбит на:
- 2 плитки типа 1
- 3 плитки типа 3
- 4 плитки типа 4
- 9 плиток типа 3
Вследствие такого разнообразия возможностей, плоскость может быть разбита на пятиугольники бесконечным числом способов, генерируемых из подразбиения шестиугольников регулярной мозаики.
| Файл:Pent-Hex-Type1-2.png Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 1) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 2 пятиугольника) |
Файл:Pent-Hex-Type3-3.png Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 3) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 3 пятиугольника) |
Файл:Pent-Hex-Type4-4.png Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 4) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 4 пятиугольника) |
Файл:Pent-Hex-Type3-9.png Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 3) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников двух разных размеров (каждый из которых разбивается либо на 3, либо на 9 плиток) |
Замощение невыпуклыми пятиугольниками
Замощения плоскости невыпуклыми многоугольниками также существуют. Один из таких примеров — мозаика «Сфинкс», непериодическое замощение через наращивание размера делящейся плитки. Для фигуры «Сфинкс» существует также и периодическое замощение через сборку их пар в параллелограммы и тривиальное замощение плоскости такими параллелограммами.
В 2003 году Гервер показал, как правильный треугольник можно разбить на три невыпуклых многоугольника. Пользуясь той же схемой, можно бесконечным числом способов разбить любой правильный <math>k</math>-угольник на <math>k</math> невыпуклых пятиугольников. В частности, этот способ подходит для 3, 4 и 6-угольников, через подразбиение регулярных мозаик которых можно таким образом генерировать ещё один бесконечный класс разбиений плоскости на невыпуклые многоугольники.
Примечания
Ссылки
- Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Pentagon Tilings
- Математики нашли новый тип пятиугольного паркета
- Математический паркет
- ↑ Шаблон:Cite news
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Код программы Хейлза
- ↑ Публикация о работе Хейлза Шаблон:Wayback на сайте Шаблон:Iw
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- ↑ 8,0 8,1 8,2 Шаблон:Citation (замечание: в работе присутствует как минимум одна ошибка — сумма углов γ+δ в первых двух типах плиток на странице 77 должна быть равна π, а не 2π)
- ↑ Шаблон:Cite arxiv
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Cite arxiv
- ↑ Cairo pentagonal tiling generated by a pentagon type 4 query Шаблон:Wayback and by a pentagon type 2 tiling query Шаблон:Wayback on wolframalpha.com Шаблон:Wayback (caution: the wolfram definition of pentagon type 2 tiling does not correspond with type 2 defined by Reinhardt in 1918)
.png&action=edit&redlink=1){kind=link}
