Русская Википедия:Пятиячейник
| Пятиячейник | |
|---|---|
| Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство | |
| Тип | Правильный четырёхмерный политоп |
| Символ Шлефли | {3,3,3} |
| Ячеек | 5 |
| Граней | 10 |
| Рёбер | 10 |
| Вершин | 5 |
| Вершинная фигура | Правильный тетраэдр |
| Двойственный политоп | Он же (самодвойственный) |
Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник[1], или пентахор (от Шаблон:Lang-grc — «пять» и Шаблон:Lang-grc2 — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.
Двойственен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.
Используется в физико-химическом анализе для изучения свойств многокомпонентных систем[3].
Описание
Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен <math>\arccos \, \frac{1}{4} \approx 75{,}52^\circ.</math>
Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.
Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.
Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.
В координатах
Первый способ расположения
Пятиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты <math>(1;1;1;0),</math> <math>(1;-1;-1;0),</math> <math>(-1;1;-1;0),</math> <math>(-1;-1;1;0),</math> <math>(0;0;0;\sqrt5).</math>
При этом точка <math>\left(0;0;0;\frac{\sqrt5}{5}\right)</math> будет центром вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.
Второй способ расположения
Если разместить пятиячейник так, чтобы его вершины имели координаты <math>\left(\frac{\sqrt5}{4};\frac{\sqrt5}{4};\frac{\sqrt5}{4};\frac{1}{4}\right),</math> <math>\left(\frac{\sqrt5}{4};-\frac{\sqrt5}{4};-\frac{\sqrt5}{4};\frac{1}{4}\right),</math> <math>\left(-\frac{\sqrt5}{4};\frac{\sqrt5}{4};-\frac{\sqrt5}{4};\frac{1}{4}\right),</math> <math>\left(-\frac{\sqrt5}{4};-\frac{\sqrt5}{4};\frac{\sqrt5}{4};\frac{1}{4}\right),</math> <math>\left(0;0;0;-1\right),</math> то они будут лежать на гиперсфере радиуса <math>1</math> с центром в начале координат.
Третий способ расположения
В пятимерном пространстве возможно разместить пятиячейник так, чтобы все его вершины имели целые координаты: <math>(1;0;0;0;0),</math> <math>(0;1;0;0;0),</math> <math>(0;0;1;0;0),</math> <math>(0;0;0;1;0),</math> <math>(0;0;0;0;1).</math>
Центром вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер при этом будет точка <math>\left(\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5}\right).</math>
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если пятиячейник имеет ребро длины <math>a,</math> то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- <math>V_4 = \frac{\sqrt5}{96}\;a^4\ \approx 0{,}0232924a^4,</math>
- <math>S_3 = \frac{5\sqrt2}{12}\;a^3 \approx 0{,}5892557a^3.</math>
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
- <math>R = \frac{\sqrt{10}}{5}\;a \approx 0{,}6324555a,</math>
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho_1 = \frac{\sqrt{15}}{10}\;a \approx 0{,}3872983a,</math>
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- <math>\rho_2 = \frac{\sqrt{15}}{15}\;a \approx 0{,}2581989a,</math>
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
- <math>r = \frac{\sqrt{10}}{20}\;a \approx 0{,}1581139a.</math>
Неправильные пятиячейники
Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.
Примечания
Ссылки
Шаблон:Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2-10
Шаблон:Многогранники
Шаблон:Символ Шлефли
- ↑ Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
- ↑ George Olshevsky. Pentachoron // Glossary for Hyperspace.
- ↑ Шаблон:Статья
