Русская Википедия:Пятнадцатиугольник
Пятнадцатиугольник — это многоугольник с пятнадцатью сторонами.
Правильный пятнадцатиугольник
Правильный пятнадцатиугольник представлен символом Шлефли {15}.
Правильный пятнадцатиугольник имеет внутренние углы 156°. Со стороной a пятнадцатиугольник имеет площадь, задаваемую формулой
- <math>
\begin{align} A = \frac{15}{4}a^2 \mathrm{ctg}\, \frac{\pi}{15} & = \frac{15}{4}\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{15+6\sqrt{5}}}a^2 \\
& = \frac{15a^2}{8} \left( \sqrt{3}+\sqrt{15}+
\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}
\right) \\
& \simeq 17.642362910544204\,a^2.
\end{align}</math>
Использование
Файл:3.10.15 vertex.png
Правильный треугольник, десятиугольник и пятнадцатиугольник могут полностью закрыть вершину на плоскости.
Построение
Поскольку 15 = 3 × 5 является произведением различных простых чисел Ферма, правильный пятнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: Следующие построения правильного пятнадцатиугольника с заданной описывающей окружностью аналогично иллюстрации для утверждения XVI в книге IV Начал ЕвклидаШаблон:Sfn.
Файл:Regular Pentadecagon Inscribed in a Circle.gif
Сравнение построения с построением Евклида см. на рисунке Пятнадцатиугольник
В построении для заданной описывающей окружности: <math> \overline{FG} = \overline{CF}\text{,} \; \overline{AH} = \overline{GM}\text{,} \; |E_1E_6|</math> равна стороне равностороннего треугольника, а <math>|E_2E_5|</math> равна стороне правильного пятиугольникаШаблон:Sfn. Точка <math>H</math> делит радиус <math>\overline{AM}</math> в пропорции золотого сечения: <math>\frac{\overline{AH}}{\overline{HM}} = \frac{\overline{AM}}{\overline{AH}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1,618 \text{.}</math>
Сравнение с первой анимацией (с зелёными прямыми) приведено на следующих двух рисунках. Две дуги (для углов 36° и 24°) смещены против часовой стрелки. Построение не использует отрезок <math> \overline{CG}</math>, а вместо него использует отрезок <math>\overline{MG}</math> как радиус <math>\overline{AH}</math> для второй дуги (угол 36°).
01-Fünfzehneck01-FünfzehneckAnimation
Построение с помощью циркуля и линейки для заданной длины стороны. Построение почти такое же, что и для построения пятиугольника по заданной стороне, оно также начинается с создания отрезка как продолжения стороны, здесь <math>\overline{FE_2}\text{,}</math>, который делится в пропорции золотого сечения:
<math>\frac{\overline{E_1 E_2}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_2 F}}{\overline{E_1 E_2}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618033988749895 \text{.}</math>
- Радиус описанной окружности <math>\overline{E_2 M} = R\;;\;\;</math>
- Длина стороны <math>\overline{E_1 E_2} = a\;;\;\;</math>
- Угол <math> D E_1M = ME_2D = 78^\circ</math>
<math>\begin{align} R &= a \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}} + \sqrt{3} \right)= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8+ 2 \cdot \sqrt{5}+2\sqrt{15 + 6 \cdot \sqrt{5}}}\cdot a\\
&= \frac {\sin (78^\circ)}{ \sin (24^\circ)} \cdot a \approx 2.4048671723720654\cdot a
\end{align}</math>
Симметрия
Правильный пятнадцатиугольник имеет диэдральную симметрию порядка 30 (Dih15), представленную 15 прямыми зеркального отражения. Dih15 имеет 3 диэдральные подгруппы: Dih5, Dih3 и Dih1. А кроме того, ещё четыре циклические симметрии — Z15, Z5, Z3 и Z1, где Zn представляет π/n вращательную симметрию.
В пятнадцатиугольнике имеется 8 различных симметрий. Джон Конвей обозначил симметрии буквами с указанием порядка симметрии после буквыШаблон:Sfn. Он обозначил через r30 полную симметрию отражений Dih15, обозначил через d (diagonal = диагональ) отражения относительно прямых, проходящих через вершины, через p отражения относительно прямых, проходящих через середины рёбер (perpendicular = перпендикуляр), а для пятнадцатиугольника с нечётным числом вершин использовал букву i (для зеркал через вершину и середину ребра) и букву g для циклической симметрии. Символ a1 означает отсутствие симметрии.
Эти низкие степени симметрий определяют степени свободы в определении неправильных пятнадцатиугольников. Только подгруппа g15 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как обладающая ориентированными рёбрами.
Пентадекаграммы
Существует три правильных звезды: {15/2}, {15/4}, {15/7} на тех же самых 15 вершинах правильного пятнадцатиугольника, но соединённых через одну, через три или через шесть вершин.
Есть также три правильных Шаблон:Не переведено 5: {15/3}, {15/5}, {15/6}, первая состоит из трёх пятиугольников, вторая состоит из пяти правильных треугольников, а третья состоит из трёх пентаграмм.
Составную фигуру {15/3} можно рассматривать как двухмерный эквивалент трёхмерного соединения пяти тетраэдров.
| Picture | Файл:Regular star polygon 15-2.svg {15/2} Шаблон:CDD |
Файл:Regular star figure 3(5,1).svg {15/3} or 3{5} |
Файл:Regular star polygon 15-4.svg {15/4} Шаблон:CDD |
Файл:Regular star figure 5(3,1).svg {15/5} or 5{3} |
Файл:Regular star figure 3(5,2).svg {15/6} or 3{5/2} |
Файл:Regular star polygon 15-7.svg {15/7} Шаблон:CDD |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | 132° | 108° | 84° | 60° | 36° | 12° |
Более глубокие усечения правильного пятнадцатиугольника и пентадекаграмм могут дать изогональные (вершинно транзитивные) промежуточные звёздчатые многоугольники, образованные вершинами, находящимися на одинаковом расстоянии, и двумя длинами рёберШаблон:Sfn.
Многоугольники Петри
Правильный пятнадцатиугольник является многоугольником Петри для некоторого многогранника высокой размерности, полученного ортогональной проекцией:
| Файл:14-simplex t0.svg 14-симплекс (14D) |
Он также является многоугольником Петри для Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга the University of Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Ссылки
Шаблон:Многоугольники Шаблон:Rq
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
