Русская Википедия:Равнобедренная трапеция
В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).
Специальные случаи
Прямоугольники и квадраты обычно рассматриваются как специальные случаи равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.
Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) [1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) [2] или, реже, symtra Шаблон:Sfn. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.
Самопересечения
Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидомШаблон:Sfn. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.
У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапецииШаблон:Sfn.
| Файл:Isosceles trapezoid example.png | Файл:Crossed isosceles trapezoid.png | Файл:Antiparallelogram.svg |
| Выпуклая равнобедренная трапеция |
Самопересекающаяся равнобедренная трапеция |
Антипараллелограмм |
|---|
Свойства
Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы являются специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у них нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:
- Диагонали имеют одинаковую длину.
- Углы при основании равны.
- Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
- Противоположные углы дополнительны (до 180º), из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
- Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap (и Шаблон:Nowrap, если хотят исключить прямоугольники).
Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как "вписанный четырёхугольник с равными диагоналями" [3], как "вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон", или как "выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон".
Углы
В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.
Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть Шаблон:Nowrap
Диагонали и высота
Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (Шаблон:Nowrap) и делят друг друга на отрезки той же длины (Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap).
Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть
- <math>\frac{AE}{EC} = \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC}.</math>
Длина каждой диагонали, согласно следствию из теоремы Птолемея, задаётся формулой
- <math>p=\sqrt{ab+c^2}</math>,
где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.
Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой
- <math>h=\sqrt{p^2-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{4c^2-(a-b)^2}.</math>
Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой
- <math>d=\frac{ah}{a+b}</math>,
где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.
Площадь
Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:
- <math>K=\frac{h}{2}\left(a+b\right).</math>
Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до
- <math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)^2},</math>
где <math>s = \tfrac{1}{2}(a + b + 2c)</math> — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде
- <math>K= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b)^2(a-b+2c)(b-a+2c)}.</math>
Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности задаётся формулой[4]
- <math>R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b)^2}}.</math>
Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до <math>R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}</math>.
См. также
Литература
Примечания
Ссылки
- ↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree [1] Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [2] Шаблон:Wayback Accessed 1 July 2014.
