Русская Википедия:Равновесие дрожащей руки
Шаблон:Концепция решения Равновесие дрожащей руки (Шаблон:Lang-en) — принцип оптимальности в некооперативных играх, представляющий собой равновесие Нэша, обладающее дополнительным свойством устойчивости к достаточно малым отклонениям игроков от равновесных стратегий. Сформулировано Р. Зельтеном в работе 1975 года[1].
Формальное определение
Пусть задана игра в нормальной форме <math>\Gamma = <I, \{X_i\}_{i \in I}, \{H_i\}_{i \in I}></math>. Набор смешанных стратегий игроков q называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {pε} → q, что стратегия qi является наилучшим ответом игрока i на стратегии остальных игроков из набора pε.
Как и равновесие Нэша, равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любой некооперативной игре с конечными множествами стратегий игроков.
Пример
Приведенная в таблице игра двух лиц отображенная в нормальной форме имеет два равновесия Нэша: (Верх, Лево) and (Низ, Право). Однако, только (В, Л) является равновесием дрожащей руки.
| Лево | Право | |
|---|---|---|
| Верх | 1, 1 | 2, 0 |
| Низ | 0, 2 | 2, 2 |
Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию <math>(1-\epsilon, \epsilon)</math>, для некоторого <math> 0<\epsilon <1</math>. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играет Лево, составит:
- <math>1(1-\epsilon) + 2\epsilon = 1+\epsilon</math>.
Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Право составит:
- <math>0(1-\epsilon) + 2\epsilon = 2\epsilon</math>.
Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Право с минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегию Низ, если игрок 2 использует смешанную стратегию <math>(1-\epsilon, \epsilon)</math>. Следовательно, (В, Л) является равновесием дрожащей руки.
Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий (Н, П). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию <math>(\epsilon, 1-\epsilon)</math>. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он использует Л, составит:
- <math>1\epsilon + 2(1-\epsilon) = 2-\epsilon</math>.
Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П:
- <math>0(\epsilon) + 2(1-\epsilon) = 2-2\epsilon</math>.
В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя П с минимальной частотой. Следовательно, (Н, П) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратегии.
Ссылки
Литература
- Зелтен, Р., Харшаньи, Д. Общая теория выбора равновесия в играх. — СПб.: Экономическая школа, 2001.
- Печерский, С. Л., Беляева, А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. (Учебное пособие) — СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001.
- Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games // Math. Soc. Sci. — 1983. — Vol. 5. — P. 269—363.
- Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games — correction and further development // Math. Soc. Sci. — 1988. — Vol. 16. — P. 223—266.
