Русская Википедия:Равнодиагональный четырёхугольник
В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы Шаблон:Sfn.
Специальные случаи
Примерами равнодиагональных четырёхугольников являются равнобедренные трапеции, прямоугольники и квадраты.
Среди всех четырёхугольников наибольшее отношение периметра к диаметру имеет равнодиагональный дельтоид с углами π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12 Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Описание
Выпуклый четырёхугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона, образованный серединами сторон, является ромбом. Эквивалентное условие — бимедианы четырёхугольника (диагонали параллелогоамма Вариньона) перпендикулярны Шаблон:Sfn.
Выпуклый четырёхугольник с длинами диагоналей <math>p</math> и <math>q</math> и длинами бимедианам <math>m</math> и <math>n</math> является равнодиагональным тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn
- <math>pq=m^2+n^2.</math>
Площадь
Площадь K равнодиагонального четырёхугольника можно легко вычислить, если известны длины бимедиан m и n. Четырёхугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда Шаблон:SfnШаблон:Sfn
- <math>\displaystyle K=mn.</math>
Это прямое следствие факта, что площадь выпуклого четырёхугольника равна удвоенной площади параллелограмма Вариньона и что диагонали в этом параллелограмме являются бимедианами четырёхугольника. Если использовать формулы длин бимедиан, площадь можно выразить в терминах сторон a, b, c, d равнодиагонального четырёхугольника и расстояния x между серединами диагоналей Шаблон:Sfn
- <math>K=\tfrac{1}{4}\sqrt{(2(a^2+c^2)-4x^2)(2(b^2+d^2)-4x^2)}.</math>
Другую формулу площади можно получить, приняв p = q в формуле площади выпуклого четырёхугольника.
Связь с другими типами четырёхугольников
Параллелограмм равнодиагонален тогда и только тогда, когда он является прямоугольникомШаблон:Sfn, а трапеция равнодиагональна тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. Вписанные равнодиагональные четырёхугольники всегда являются равнобедренными трапециями.
Существует двойственность между равнодиагональными четырёхугольниками и ортодиагональными четырёхугольниками – четырёхугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона имеет перпендикулярные диагонали (т.е. является ромбом), а четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона равнодиагонален (т.е. является прямоугольником)Шаблон:Sfn. Эквивалентно, четырёхугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда в нём бимедианы перпендикулярны, и он имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда у него равны бимедианыШаблон:Sfn, СильвестерШаблон:Sfn указал дальнейшую связь между равнодиагональными и ортодиагональными четырёхугольниками посредством обобщения теоремы Ван-Обеля Шаблон:Sfn.
Четырёхугольники, которые одновременно ортодиагональны и равнодиагональны, и у которых диагонали не короче всех сторон четырёхугольника, имеют максимальную площадь по отношению к диаметру, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра. Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других. Равнодиагональные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями называют среднеквадратными четырёхугольниками Шаблон:Sfn, поскольку это только те четырёхугольники, для которых параллелограмм Вариньона (с вершинами в середине сторон четырёхугольника) является квадратом. Такие четырёхугольники со сторонами a, b, c и d имеют площадь Шаблон:Sfn.
- <math>K=\frac{a^2+c^2+\sqrt{4(a^2c^2+b^2d^2)-(a^2+c^2)^2}}{4}.</math>
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
