Русская Википедия:Равномерная плотность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Равномерная плотность — свойство семейства мер; формализует то, что семейство не убегает на бесконечность.

Определение

Пусть <math>(X, T)</math> — Хаусдорфово пространство, и пусть <math>\Sigma</math> — сигма-алгебра на <math>X</math>, включающая открытые (а значит и борелевские) множества. Пусть <math>M</math> — семейство мер, определенных на <math>\Sigma</math>. Семейство <math>M</math> называется равномерно плотным, если для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует компактное подмножество <math>K_{\varepsilon}</math> в <math>X</math>, такое, что для всех мер <math>\mu \in M</math> выполняется неравенство

<math>|\mu| (X \setminus K_{\varepsilon}) < \varepsilon,</math>

здесь <math>|\mu|</math> — это вариация меры <math>\mu</math>.

Замечания

• Часто предполагается, что меры вероятностные; в этом случае ключевое неравенство можно переписать как

  <math>\mu (K_{\varepsilon}) > 1 - \varepsilon.</math>

• Если равномерно плотное семейство <math>M</math> состоит из одной меры <math>\mu</math>, то сама мера <math>\mu</math> называется плотной.
• Если <math>Y</math> — это <math>X</math>-значная случайная величина, у которой распространение является плотной мерой на <math>X</math>, то говорят, что <math>Y</math> радонова случайная величина.

Примеры

• Любое семейство мер на компактном метризуемом пространстве равномерно плотна.
  • Это не обязательно верно для неметризуемых пространств.
• Если <math>X</math> — польское пространство, то любая вероятностная мера плотна.
  • Согласно теореме Прохорова, семейство вероятностых мер на <math>X</math> равномерно плотно, тогда и только тогда, когда это оно предкомпактно в топологии слабой сходимости.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.