Русская Википедия:Радиан

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от Шаблон:Lang-la — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу^[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС^[2].

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиануШаблон:Sfn. Из определения следует, что величина полного угла равна 2[[Пи (число)|Шаблон:Math]] радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами углаШаблон:Sfn^[3].

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса Шаблон:Math и угловой величины Шаблон:Math, измеренной в радианах, равна Шаблон:Math.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом^[4]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная^[5] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad^[6].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду^[7].

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Шаблон:Кратные и дольные единицы

Связь радиана с другими единицами

Файл:Angle radian.svg

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

1 радиан = 1/(Шаблон:Math) оборотов = 180/Шаблон:Math градусов = 200/Шаблон:Math градов.

Очевидно, развернутый угол равен <math>180^\circ,</math> или <math>\frac{\pi \cdot r}{r}= \pi</math> радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

Шаблон:Math[°] = Шаблон:Math[рад] × (360° / (Шаблон:Math)) или Шаблон:Math[рад] × (180° / Шаблон:Math),

Шаблон:Math[рад] = Шаблон:Math[°] : (180° / Шаблон:Math) = Шаблон:Math[°] × (Шаблон:Math / 180°),

где Шаблон:Math[рад] — угол в радианах, Шаблон:Math[°] — угол в градусах.

1 рад (или <math>\rho^\circ</math>) = <math>\frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57{,}295779513^\circ \approx 57^\circ17'44{,}806</math>(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

<math>\rho'</math> (или 1 рад в минутах) = <math>\frac{360^\circ \cdot 60'}{2\pi} \approx 3437{,}747'</math>

<math>\rho</math> (или 1 рад в секундах) = <math>\frac{360^\circ \cdot 60' \cdot 60}{2\pi} \approx 206264{,}8.</math>

Файл:Degree-Radian Conversion.svg

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
<math>\rho_{\prime\prime}</math> (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = <math>\frac{400 \cdot 100 \cdot 100}{2\pi} = 636620.</math>
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (<math>\mathrm{rad}</math>) делаем именованное (<math>\rho^\circ, \rho', \rho</math>) и поэтому должны множить на <math>\rho^\circ ~ (</math>или <math>\rho', \rho)</math>;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на <math>\rho^\circ ~ (</math>или <math>\rho', \rho),</math> либо же умножать на перевёрнутую дробь <math>\frac{1}{\rho^\circ} ~ (\frac{1}{\rho'}, \frac{1}{\rho}).</math>

Пример 1. Перевести в радианы <math>5^\circ43'46.</math>

<math>\boldsymbol{\alpha} [\mathrm{rad}] \eqcirc 5^\circ = \frac{5^\circ}{\displaystyle{\rho^\circ}} ~\mathrm{rad} = 0{,}0872_6</math>^[8]

<math>43' = \frac{43'}{\rho'} ~\mathrm{rad} = 0{,}0125_{08}</math>^[8]

<math>46 = \frac{46}{\rho} ~\mathrm{rad} = 0{,}0002_{23}</math>^[8]

<math>\sum \approx 0{,}0999_9 ~\mathrm{rad}</math>^[8] <math>= 0{,}1 ~\mathrm{rad}</math>

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на <math>\rho^\circ :</math> (как правило, этот способ более точен)

<math>46 = \frac{46}{60} = 0{,}\boldsymbol{77}'</math>

<math>43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ</math>

<math>\sum = 5{,}\boldsymbol{7295}^\circ</math>

<math>5{,}7295^\circ = \frac{5{,}7295^\circ}{\rho^\circ} ~\mathrm{rad} = \frac{5{,}7295^\circ}{\displaystyle{57{,}295^\circ}} = 0{,}1 ~\mathrm{rad}</math>

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

<math>a [^\circ] \eqcirc 1 \cdot \frac{360^\circ}{2\pi} = 1 \cdot 57{,}29578^\circ = 57{,}\boldsymbol{29578}^\circ</math>

<math>0{,}\boldsymbol{29578}^\circ \cdot 60' = 17{,}\boldsymbol{7468}'</math>

<math>0{,}\boldsymbol{7468}' \cdot 60 = 44{,}807 \approx 45</math>

Итого <math>\approx 57^\circ 17'45.</math>

Таблица градусов, радиан и град

Таблица угловШаблон:Sfn
Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
<math>0</math>	<math>0^\circ</math>	<math>0</math>	<math>0^\mathrm{g}</math>	<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>\frac{1}{24}</math>	<math>15^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{12}</math>	<math>33\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>2-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{12}</math>	<math>30^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{6}</math>	<math>16\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>\frac{1}{8}</math>	<math>45^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{4}</math>	<math>50^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>1</math>
<math>\frac{1}{6}</math>	<math>60^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{3}</math>	<math>66\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>\sqrt{3}</math>
<math>\frac{5}{24}</math>	<math>75^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{12}</math>	<math>88\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>2+\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{4}</math>	<math>90^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{2}</math>	<math>100^\mathrm{g}</math>	<math>1</math>	<math>0</math>	не определён
<math>\frac{7}{24}</math>	<math>105^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{12}</math>	<math>116\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>-2-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{3}</math>	<math>120^\circ</math>	<math>\frac{2\pi}{3}</math>	<math>133\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{3}{8}</math>	<math>135^\circ</math>	<math>\frac{3\pi}{4}</math>	<math>150^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-1</math>
<math>\frac{5}{12}</math>	<math>150^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{6}</math>	<math>166\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>\frac{11}{24}</math>	<math>165^\circ</math>	<math>\frac{11\pi}{12}</math>	<math>183\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>-2+\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{2}</math>	<math>180^\circ</math>	<math>\pi</math>	<math>200^\mathrm{g}</math>	<math>0</math>	<math>-1</math>	<math>0</math>
<math>\frac{7}{12}</math>	<math>210^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{6}</math>	<math>233\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>\dfrac{5}{8}</math>	<math>225^\circ</math>	<math>\dfrac{5\pi}{4}</math>	<math>250^\mathrm{g}</math>	<math>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>1</math>
<math>\frac{2}{3}</math>	<math>240^\circ</math>	<math>\frac{4\pi}{3}</math>	<math>266\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>\sqrt{3}</math>
<math>\frac{3}{4}</math>	<math>270^\circ</math>	<math>\frac{3\pi}{2}</math>	<math>300^\mathrm{g}</math>	<math>-1</math>	<math>0</math>	не определён
<math>\frac{5}{6}</math>	<math>300^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{3}</math>	<math>333\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{7}{8}</math>	<math>315^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{4}</math>	<math>350^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-1</math>
<math>\frac{11}{12}</math>	<math>330^\circ</math>	<math>\frac{11\pi}{6}</math>	<math>366\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>1</math>	<math>360^\circ</math>	<math>2\pi</math>	<math>400^\mathrm{g}</math>	<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее <math>0{,}1 ~ \mathrm{rad} ~ ( 5^\circ43'{,}77 )</math>, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше <math>0{,}01 ~ \mathrm{rad} ~ ( 0^\circ34'{,}38 )</math>, — то до шестого знака после запятой^[9]:

<math>\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha.</math>

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной^[10]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы^[11].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»^[12]^[13]^[14].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Внешние ссылки

↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web
↑ Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
↑ Шаблон:Nbsp<math> \sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \approx 0{,}100 </math>
<math> \operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \approx 0{,}100 </math> (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

<math> \sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \approx 0{,}010000 </math>

<math> \operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \approx 0{,}010000 </math> (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы <math>5^\circ43'{,}77 ~ ( \approx 5^\circ43'46 )</math> и <math>0^\circ34'{,}38 ~ ( \approx 0^\circ34'23 )</math>; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Шаблон:Книга)
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья Шаблон:Статья Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Cite web

Шаблон:Выбор языка Шаблон:Перевести

Шаблон:Единицы СИ

[1] Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Книга

[3] Шаблон:Cite web

[4] Шаблон:Cite web

[5] Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

[6] Шаблон:Cite web

[7] Шаблон:Cite web

[Лишки-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.

[9] Шаблон:Nbsp<math> \sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \approx 0{,}100 </math>
<math> \operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \approx 0{,}100 </math> (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

<math> \sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \approx 0{,}010000 </math>

<math> \operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \approx 0{,}010000 </math> (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы <math>5^\circ43'{,}77 ~ ( \approx 5^\circ43'46 )</math> и <math>0^\circ34'{,}38 ~ ( \approx 0^\circ34'23 )</math>; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Шаблон:Книга)

[10] Шаблон:Cite web

[11] Шаблон:Книга

[12] Шаблон:Книга

[13] Шаблон:Статья Шаблон:Статья Шаблон:Статья

[14] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Радиан

Содержание

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

Кратные и дольные единицы

Связь радиана с другими единицами

Таблица градусов, радиан и град

Радианная мера в математическом анализе

История

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты