Русская Википедия:Радикальная ось двух окружностей
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.
Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).
Свойства радикальной оси
- Радикальная ось является прямой. Поскольку степень точки относительно окружности равна <math>x^2 + y^2 + Ax + By + C,</math> где коэффициенты A, B и C определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получим <math>x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 \Leftrightarrow (A_1-A_2)x + (B_1-B_2)y + (C_1-C_2) = 0,</math> а это уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.
- Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.
- Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.
- Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).
- Если прямые, содержащие хорды <math>AB</math> и <math>CD</math> первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник <math>ABCD</math> вписанный. Это несложно доказать: пусть <math>P</math> — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна <math>PA \cdot PB,</math> а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и <math>PC \cdot PD.</math> Так как <math>PA \cdot PB = PC \cdot PD,</math> то точки <math>A, B, C</math> и <math>D</math> лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что <math>AB</math> — общая хорда первой и третьей, а <math>CD</math> — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.
- Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть <math>\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3</math> — окружности, а <math>P</math> — точка пересечения радикальной оси окружностей <math>\Omega_1</math> и <math>\Omega_2</math> с радикальной осью окружностей <math>\Omega_2</math> и <math>\Omega_3</math>. Если <math>\mathfrak P(\omega,A)</math> — степень точки <math>A</math> относительно окружности <math>\omega,</math> то по определению радикальной оси <math>\mathfrak P(\Omega_1,P) = \mathfrak P(\Omega_2,P) = \mathfrak P(\Omega_3,P),</math> и точка <math>P</math> лежит на радикальной оси окружностей <math>\Omega_1</math> и <math>\Omega_3.</math>
- Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть). См. рис.
- Антигомологические хордыШаблон:Уточнить двух окружностей пересекаются на их радикальной оси (видимо, имеются в виду две хорды, проходящие через две пары антигомотетических точек двух окружностей, см. рис. ниже).
- Пусть <math>ABCD</math> — четырёхугольник, прямые <math>AB</math> и <math>CD</math> пересекаются в точке <math>F</math>, <math>BC</math> и <math>AD</math> — в <math>E</math>. Тогда окружности, построенные на отрезках <math>AC</math>, <math>BD</math> и <math>EF</math>, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников <math>ABE</math>, <math>CDE</math>, <math>BCF</math> и <math>ADF</math> (прямая Обера — Штейнера).
Ортогональность
- Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
- Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O' называются ортогональными, если являются прямыми углы OAO' и OBO' . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
- Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D, то есть дуга AС равна дуге СB, дуга AD равна дуге DB. Тогда эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы СAD и СBD.
Следствия из свойств радикальной оси
- На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с двумя его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
- Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырехугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).
- Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).
Ссылки
См. также
