Русская Википедия:Радикал идеала

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Определение

Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый <math>\sqrt{I}</math>, определяется как

<math>\sqrt{I}=\{r\in R\mid\exists n \in \mathbb{N} \,\,\, r^n\in I\}</math>

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала <math>R/I</math> при отображении факторизации. Это также доказывает, что <math>\sqrt{I}</math> является идеалом.

Примеры

• В кольце целых чисел радикал главного идеала <math>(a)</math> — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей <math>a</math>.
• Радикал примарного идеала прост. Если радикал идеала максимален, то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен).
• В любом коммутативном кольце <math>\sqrt{P^n} = P</math> для простого идеала <math>P</math>Шаблон:Sfn. В частности, каждый простой идеал радикален.

Свойства

• <math>\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}</math>. Более того, <math>\sqrt{I}</math> — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
• <math>\sqrt{I}</math> — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
• Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

Приложения

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля <math>k</math> и любого конечнопорождённого идеала <math>J</math> в кольце многочленов от <math>n</math> переменных над полем <math>k</math> верно следующее равенство:

<math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt J,</math>

где

<math> \operatorname{V}(J) = \{x \in k^n \ |\ f(x)=0 ~\forall f\in J\}</math>

и

<math> \operatorname{I}(S) = \{f \in k[x_1,x_2,\ldots x_n] \ |\ f(x)=0 ~\forall x\in S \}.</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга