Русская Википедия:Радиус-вектор

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ра́диус-ве́ктор (обозначается буквой <math>r</math> со стрелкой: <math>\vec r</math> или набираемой жирным шрифтом: <math>\mathbf r</math>) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике.

Радиус-вектор в геометрии

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора — указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат

Двумерное пространство

• Декартовы координаты: <math>\quad\vec r=x\vec{e}_x+y\vec e_y</math>
• Полярные координаты: <math>\quad\vec r=\rho\vec{e}_\rho</math>

Трёхмерное пространство

• Декартовы координаты: <math>\quad\vec r=x\vec{e}_x+y\vec e_y+z\vec e_z </math>
• Цилиндрические координаты: <math>\quad\vec r=\rho\vec{e}_\rho+z\vec e_z </math>
• Сферические координаты: <math>\quad\vec r=\rho\vec{e}_\rho </math>

n-мерное пространство

• Декартовы координаты: <math>\quad\vec r = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + ... + x_n\vec{e}_n </math>

Радиус-вектор в кинематике

В кинематике изменение радиус-вектора со временем, то есть функция <math>\vec r(t)</math>, определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

<math>\vec v(t) = \frac{\mbox{d}\vec{r}(t)}{\mbox{d}t} = \dot\vec{r}(t)</math>

<math>\vec a(t) = \frac{\mbox{d}^2\vec{r}(t)}{\mbox{d}t^2} = \ddot\vec{r}(t)</math>,

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если для декартовых координат <math>\vec{v} = \dot x\vec{e}_x + \dot y\vec{e}_y + \dot z\vec{e}_z</math>, то для цилиндрической системы имеем не <math>\vec{v} = \dot\rho\vec{e}_{\rho} + \dot\varphi\vec{e}_{\varphi} + \dot z\vec{e}_z</math>, а выражение: <math>\vec{v} = \dot\rho\vec{e}_{\rho} + \rho\dot\varphi\vec{e}_{\varphi} + \dot z\vec{e}_z</math>; ускорение в последнем случае: <math>\vec{a} = (\ddot{\rho} - \rho\dot{\varphi}^2) \vec{e}_{\rho} + (2\dot{\rho}\dot{\varphi} + \rho\ddot{\varphi}) \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z}\vec{e}_{z}</math>.