Для любого компактного трёхмерного многообразия <math>M</math> существует поверхность <math>S</math>, разрезающая <math>M</math> на два тела с ручками,
то есть на многообразия, гомеоморфные замкнутой области евклидова пространства, ограниченной поверхностью.
Род поверхности <math>S</math> называется родом разбиения.
Разбиение <math>M</math> называется минимальным, если <math>M</math> не допускает разбиения меньшего рода. Минимальное значение рода поверхности называется родом Хегора многообразия <math>M</math>.
Примеры
Трёхмерная сфера <math>S^3</math> допускает разбиение Хегора рода ноль. Иначе говоря, 2-мерная сфера разрезает <math>S^3</math> на два шара.
Более того, все многообразия, допускающие разбиение Хегора рода ноль, гомеоморфны <math>S^3</math>.
Вложенный тор разбивает сферу на два полнотория, это даёт другое разбиение Хегора <math>S^3</math> рода 1. (См. также расслоение Хопфа.)
Линзовые пространства допускают разбиение Хегора рода один. Иначе говоря, любое линзовое пространство можно разрезать тором на два полнотория.
Свойства
Лемма Александера: с точностью до изотопии, существует единственное (кусочно-линейное) вложение двумерной сферы в трёхмерную сферу.
Эту теорему можно переформулировать следующим образом: трёхмерная сфера <math>S^3</math> допускает единственное разбиение Хегора рода ноль.
Теорема Вальдхаузена[2]: каждое разбиение <math>S^3</math> получается из разбиения рода ноль путём операции связной суммы с разбиением сферы рода 1.
Теорема Райдемейстера — Зингера: для любой пары разбиений <math>H_1</math> и <math>H_2</math> многообразия <math>M</math> существует третье разбиение <math>H</math>, которое является стабилизацией обоих. То есть <math>H</math> можно получить из <math>H_1</math> и <math>H_2</math> путём взятия связной суммы с разбиением <math>S^3</math> рода 1.
Любая минимальная поверхность в трёхмерном римановом многообразии положительной кривизны задаёт разложение Хегора.
Литература
Математическая энциклопедия. М.: 197* — 1985, том 5, стр.780. (Разбиение Хегора.)
Фоменко, А.Т. Геометрия и топология. Наглядная геометрия и топология. М. 1992. (Глава 2. Многообразия малой размерности.)
