Русская Википедия:Разбиение на ортосхемы
Шаблон:Unsolved Нерешённая гипотеза Гуго Хадвигера утверждает, что любой симплекс может быть разбит на Шаблон:Не переведено 5, причём число ортосхем ограничено сверху функцией от размерности симплексаШаблон:Sfn. Если гипотеза верна, то верно и более общее утверждение, что любой выпуклый многогранник можно разбить на ортосхемы.
Определения и формулировка гипотезы
В этом контексте симплекс в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве — это выпуклая оболочка <math>d+1</math> точек, не лежащих в одной гиперплоскости. Например, 2-мерный симплекс — это просто треугольник (выпуклая оболочка трёх точек на плоскости), а 3-мерный симплекс — это тетраэдр (выпуклая оболочка четырёх точек в трёхмерном пространстве). Точки, которые образуют симплекс таким способом, называются вершинами.
Ортосхема — это симплекс специального вида. В ней существует путь по рёбрам, соединяющий все вершины, причём любые два ребра пути перпендикулярны друг другу. Двумерная ортосхема — это прямоугольный треугольник. Трёхмерную ортосхему можно построить из куба, если взять путь из трёх рёбер куба, не лежащих в одной грани, и рассмотреть выпуклую оболочку четырёх вершин, через которые проходит этот путь.
Рассечение тела <math>S</math> (которое может быть любым замкнутым множеством в евклидовом пространстве) — это представление <math>S</math> в виде объединения других тел, внутренности которых не пересекаются. То есть тела "не перекрываются", но могут иметь общие точки на границах. Например, куб может быть рассечён на шесть трёхмерных ортосхем. Аналогично, любой гиперкуб или гиперпрямоугольник в <math>d</math>-мерном пространстве может быть рассечён на <math>d!</math> ортосхем.
Гипотеза Хадвигера утверждает, что существует функция <math>f</math> такая, что любой <math>d</math>-мерный симплекс может быть рассечён на не более чем <math>f(d)</math> ортосхем. Хадвигер сформулировал эту проблему в 1956Шаблон:Sfn. Гипотеза на данный момент не доказана, хотя при малых значениях <math>d</math> получены частичные результатыШаблон:Sfn.
В пространствах малой размерности
В двумерном пространстве любой треугольник можно рассечь на два прямоугольных треугольника путём опускания высоты на самую длинную сторонуШаблон:Sfn.
В трёхмерном пространстве некоторые тетраэдры можно рассечь аналогично. Надо опустить высоту из вершины <math>v</math> в точку <math>p</math> на противоположной грани, соединить <math>p</math> со сторонами грани перпендикулярно сторонам и получить пути из трёх отрезков, перпендикулярных друг другу — от <math>v</math> к <math>p</math>, от <math>p</math> на сторону и затем в вершину грани Шаблон:Sfn. Однако это построение не всегда работает: существуют тетраэдры, для которых основание ни одной высоты не лежит на гранях тетраэдра. Используя более сложное построение, ЛенхардШаблон:Sfn доказал, что любой тетраэдр можно рассечь не более чем на 12 ортосхемШаблон:Sfn. БёмШаблон:Sfn доказал, что это значение оптимально — существуют тетраэдры, которые нельзя рассечь на менее чем 12 ортосхемШаблон:Sfn. В той же статье Бём также обобщает результат на трёхмерную сферическую геометрию и трёхмерную гиперболическую геометрию.
В четырёхмерном пространстве требуется не более 500 ортосхемШаблон:Sfn. В пятимерном пространстве также требуется конечное число ортосхем, где-то около 12,5 миллионов. Снова это применимо к сферической и гиперболической геометриям, как и к евклидовому пространствуШаблон:Sfn.
Гипотеза Хадвигера остаётся недоказанной для всех размерностей, больших пятиШаблон:Sfn.
Следствия
Любой выпуклый многогранник можно рассечь на симплексы. Таким образом, если гипотеза Хадвигера верна, то любой выпуклый многогранник можно также рассечь на ортосхемыШаблон:Sfn.
Связанный результат — любую ортосхему можно рассечь на <math>d</math> или <math>d+1</math> меньших ортосхемШаблон:SfnШаблон:Sfn. Таким образом, рассечения симплексов, допускающих разбиение на ортосхемы, могут иметь произвольно большое число ортосхем в рассечениях.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья. См, в частности, гипотезу 23, стр. 327.
- Шаблон:Статья
