Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранникаШаблон:Sfn.
Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склееныШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.[1]
Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.
В 1975 году Шаблон:Iw сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений.[2] Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня.[3][4] Известно следующее:
Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа.[5] В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.
