Русская Википедия:Разделённые степени
Разделённые степени — структура на коммутативных кольцах, позволяющая придать выражениям вида <math>x^n / n!</math> смысл, если даже невозможно деление на <math>n!</math>.
Определения
Пусть <math>A</math> — коммутативное кольцо с идеалом <math>\mathfrak{I}</math>. Структура разделённых степеней (или PD-структура, от Шаблон:Lang-fr) на <math>\mathfrak{I}</math> есть набор отображений <math>\gamma_n : \mathfrak{I} \to A</math> для <math>n=0, 1, 2, \dots</math> таких, что:
- <math>\gamma_0(x) = 1</math> и <math>\gamma_1(x) = x</math> для <math>x \in \mathfrak{I}</math>, тогда как <math>\gamma_n(x) \in \mathfrak{I}</math> для <math>n > 0</math>.
- <math>\gamma_n(x + y) = \sum_{i=0}^n \gamma_{n-i}(x) \gamma_i(y)</math> для <math>x, y \in \mathfrak{I}</math>.
- <math>\gamma_n(\lambda x) = \lambda^n \gamma_n(x)</math> для <math>\lambda \in A, x \in \mathfrak{I}</math>.
- <math>\gamma_m(x) \gamma_n(x) = ((m, n)) \gamma_{m+n}(x)</math> для <math>x \in I</math>, где <math>((m, n)) = \frac{(m+n)!}{m! n!}</math> — целое число.
- <math>\gamma_n(\gamma_m(x)) = C_{n, m} \gamma_{mn}(x)</math> for <math>x \in I</math>, где <math>C_{n, m} = \frac{(mn)!}{(m!)^n n!}</math> — целое число.
Ради удобства обозначений <math>\gamma_n(x)</math> часто пишется как <math>x^{[n]}</math>, когда ясно, какая структура разделённых степеней подразумевается.
Идеал разделённых степеней — идеал с заданной структурой разделённых степеней; кольцо с разделёнными степенями — кольцо с заданным идеалом и соответствующей ему структурой разделённых степеней.
Гомоморфизмы алгебр с разделёнными степенями суть гомоморфизмы колец, согласованные со структурами разделённых степеней на области определения и на образе.
Примеры
- <math>\mathbb{Z}\langle{x}\rangle:=\mathbb{Z}[x,\frac{x^2}{2},\ldots,\frac{x^n}{n!},\ldots]\subset \mathbb{Q}[x]</math> есть алгебра с разделёнными степенями, это свободная алгебра с разделёнными степенями над <math>\mathbb{Z}</math> с одной образующей.
- Если <math>A</math> — алгебра над полем <math>\Q</math>, тогда всякий идеал <math>\mathfrak{I}</math> имеет единственную структуру разделённых степеней; для неё <math>\gamma_n(x) = \frac{1}{n!} \cdot x^n</math>. (Единственность следует из просто проверяемого факта, утверждающего, что, вообще говоря, <math>x^n = n! \gamma_n(x)</math>.) На самом деле, это первоочередной пример для мотивировки этого понятия.
- Если <math>A</math> — кольцо характеристики <math>p > 0</math>, где <math>p</math> — простое число, и <math>\mathfrak{I}</math> — идеал такой, что <math>\mathfrak{I}^p = 0</math>, то мы можем определить структуру разделённых степеней на <math>\mathfrak{I}</math>, где <math>\gamma_n(x) = \frac{1}{n!} x^n</math>, если <math>n < p</math>, и <math>\gamma_n(x) = 0</math>, если <math>n \geq p</math>. (Заметим разницу между идеалом <math>\mathfrak{I}^p</math> и идеалом, порождённым <math>x^p</math> для всех <math>x \in \mathfrak{I}</math>; второй всегда нулевой, если структура разделённых степеней существует, в то время как первый не обязательно нулевой.)
- Если <math>M</math> есть <math>A</math>-модуль, пусть <math>S^\cdot M</math> обозначает симметрическую алгебру модуля <math>M</math> над <math>A</math>. Тогда её двойственная алгебра <math>(S^\cdot M) \check{~} = Hom_A(S^\cdot M, A)</math> имеет каноническую структуру кольца с разделёнными степенями. На самом деле, она канонически изоморфна естественному пополнению <math>\Gamma_A(\check{M})</math> (см. ниже), если <math>M</math> конечного ранга.
Конструкции
Если <math>A</math> — произвольное кольцо, существует кольцо с разделёнными степенями:
- <math>A \langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle</math>,
состоящее из многочленов с разделёнными степенями от переменных <math>x_1, x_2, \ldots, x_n,</math>, то есть суммы мономов с разделёнными степенями вида:
- <math>c x_1^{[i_1]} x_2^{[i_2]} \cdots x_n^{[i_n]}</math>,
где <math>c \in A</math>. Здесь идеал разделённых степеней есть множество многочленов с разделёнными степенями со свободным членом <math>0</math>.
Более общо, если <math>M</math> — <math>A</math>-модуль, существует универсальная <math>A</math>-алгебра, называемая <math>\Gamma_A(M)</math>, с идеалом разделённых степеней <math>\Gamma_+(M)</math> и <math>A</math>-линейным отображением <math>M \to \Gamma_+(M)</math>. (Случай многочленов с разделёнными степенями — это частный случай, когда <math>M</math> — свободный модуль над <math>A</math> конечного ранга.)
Если <math>\mathfrak{I}</math> — идеал в <math>A</math>, существует универсальная конструкция, расширяющая кольцо <math>A</math> с разделёнными степенями элементов <math>\mathfrak{I}</math> до обёртывающей кольца с разделёнными степенями <math>\mathfrak I</math> в <math>A</math>.
Применения
Обёртывающая кольца с разделёнными степенями — важный инструмент в теориях PD-дифференциальных операторов и кристаллических когомологий, где разделённые степени используются для обхождения технических трудностей, возникающих при положительной характеристике кольца.
Функтор разделённых степеней используется при построении Шаблон:Iw.
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Изолированная статья
