Русская Википедия:Разложение Риччи

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Разложение Риччи — это разложение тензора кривизны Римана на неприводимые относительно ортогональной группы тензорные части. Это разложение играет важную роль в римановой и псевдоримановой геометрии.

Составные части тензора Римана

Разложение выглядит так:

<math>R_{abcd}= \, S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.</math>

Его элементами являются:

1. скалярная часть <math>S_{abcd}</math>,
2. полубесследовая часть <math>E_{abcd}</math>,
3. полностью бесследовая часть, носящая специальное название тензор Вейля, <math>C_{abcd}</math>.

Каждый элемент имеет те же симметрии, как и тензор кривизны, но также обладает специфическими алгебраическими свойствами.

Скалярная часть

<math> S_{abcd} = \frac{R}{(n-1) \, (n-2)} \, H_{abcd}</math>

зависит только от скалярной кривизны <math>R = {R^m}_m</math> (где <math>R_{ab}={R^c}_{acb}</math> — тензор Риччи), и метрического тензора <math>g_{ab}</math>, который комбинируется таким образом, чтобы дать тензор <math>H_{abcd}</math> с симметрией тензора кривизны:

<math>H_{abcd} = g_{ad} \, g_{cb} - g_{ac} \, g_{db} = 2g_{a[d} \, g_{c]b}.</math>

Полубесследовая часть

<math>E_{abcd} = \frac{1}{n-2} \, \left( g_{ac} \, R_{bd} - g_{ad} \, R_{bc} + g_{bd} \, R_{ac} - g_{bc} \, R_{ad} \right) =

\frac{2}{n-2} \, \left( g_{a[c} \, R_{d]b}  - g_{b[c} \, R_{d]a}  \right)  </math>

получается аналогичным образом из бесследовой части тензора Риччи

<math> S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{n} \, g_{ab} \, R</math>

и метрического тензора <math>g_{ab}</math>.

Тензор Вейля полностью бесследовой в том смысле, что его свёртка по любой паре индексов даёт ноль. Герман Вейль показал, что этот тензор измеряет отклонение псевдориманова многообразия от конформно-плоского: в рамерностях 4 и выше, обращение его в ноль, влечёт, что многообразие локально конформно-эквивалентно плоскому многообразию.

Это разложение — чисто алгебраическое и не включает в себя никаких дифференцирований.

В случае Шаблон:Iw 4-мерного многообразия (например, пространства-времени) тензор Эйнштейна <math>G_{ab} = R_{ab} - 1/2 \, g_{ab} R</math> имеет след, равный скалярной кривизне с обратным знаком, так что бесследовые части тензора Эйнштейна и тензора Риччи совпадают

<math> S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{4} \, g_{ab} \, R = G_{ab} - \frac{1}{4} \, g_{ab} \, G.</math>

Замечание о терминологии: обозначения <math>R_{abcd}, \, C_{abcd}</math> — стандартны, <math>S_{ab}, \, E_{abcd}</math> — широко распространены, но не общеприняты, а тензоры <math>S_{abcd}</math> и <math>H_{abcd}</math> не имеют устоявшихся обозначений.

Как неприводимое представление

Разложение Риччи представляет собой разложение пространства всех тензоров с симметрией тензора кривизны на неприводимые представления ортогональной группыШаблон:Sfn. Пусть V — n-мерное векторное пространство с введённой на нём метрикой (возможно, смешанной сигнатуры). Если оно представляет собой касательное пространство в точке многообразия, то тензор кривизны R с ковариантными индексами представляет собой элемент тензорного произведения V⊗V⊗V⊗V, такой что он антисимметричен по паре первых и последних элементов:

<math>R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)</math>

и симметричен относительно их перестановки

<math>R(x,y,z,w) = R(z,w,x,y),</math>

для всех x,y,z,w ∈ V^∗. Тогда R принадлежит подпространству <math>S^2\Lambda^2V</math>, квадратичных форм на бивекторах пространства V. Помимо этого, тензор кривизны должен также удовлетворять тождеству Бианки, обозначающему, что он принадлежит ядру линейного отображения антисимметризации <math>b\colon S^2\Lambda^2V\to \Lambda^4V</math>

<math>b\colon R(x,y,z,w) \mapsto \tfrac13\cdot[R(x,y,z,w) + R(y,z,x,w) + R(z,x,y,w)].</math>

Ядро <math>\mathop{\rm Ker}b\subset S^2\Lambda^2V</math> представляет собой пространство алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи представляет собой разложение этого пространства на неприводимые компоненты. Отображение свёртки Риччи

<math>c : S^2\Lambda^2 V \to S^2V</math>

определяется равенством

<math>c(R)(x,y) = \operatorname{tr}R(x,\cdot,y,\cdot).</math>

Это отображение позволяет сопоставить каждому алгебраическому тензору кривизны симметрическую 2-форму. Наоборот, для любых симметрических 2-форм <math>h</math> и <math>k</math> произведение Кулкарни — Номидзу

<math>h{~\wedge\!\!\!\!\!\!\bigcirc~} k(x,y,z,w) = h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z) -h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)</math>

определяет алгебраический тензор кривизны.

При <math>n\ge 4</math> имеется (единственное) ортогональное разложение на неприводимые подпространства:

Шаблон:Nowrap

где

<math>\mathbf{S}V = \mathbb{R} g\circ g ;</math>

<math>\mathbf{E}V = g\circ S^2_0V,</math> где SШаблон:SuV — пространство симметричных 2-форм с нулевым следом;

<math>\mathbf{C}V = \ker c \cap \ker b.</math>

Компоненты S, E и C разложения Риччи данного тензора Римана R представляют собой ортогональные проекции R на инвариантные подпространства. В частности,

<math>R = S + E + C</math>

и

<math>|R|^2 = |S|^2 + |E|^2 + |C|^2.</math>

Разложение Риччи выражает пространство тензоров с симметрией тензора Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля. Каждый из этих модулей представляет собой неприводимое представление ортогональной группы, и таким образом это разложение является частным случаем разложения модуля полупростой группы Ли на неприводимые множители.

В 4-мерном случае, модуль Вейля разлагается дополнительно в пару неприводимых множителей по специальной ортогональной группе: самодуальную и антисамодуальную части W⁺ и W⁻.

Физическая интерпретация

Разложение Риччи имеет физическое значение в рамках общей теории относительности и других метрических теорий гравитации, где оно называется иногда разложением Гехеняу — Дебевера (Géhéniau-Debever). В этой теории уравнения Эйнштейна

<math> G^{ab} = 8 \pi \, T^{ab},</math>

где <math>T^{ab}</math> — тензор энергии-импульса, который содержит плотности и потоки энергии и импульса всей негравитационной материи, утверждают, что тензор Ричи (или, эквивалентно, тензор Эйнштейна) описывают ту часть гравитационного поля, которая непосредственно порождается негравитационными энергией и импульсом. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая распространяется даже через области пространства, не содержащие материи или полей негравитационной природы — например, в виде гравитационных волн или приливных сил. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обнуляется, не содержат гравитационных волн и являются конформно плоскими, что влечёт за собой, например, отсутствие гравитационного отклонения света в таких областях.

Ссылки

• Шаблон:Citation.

• Шаблон:Книга See section 2.6 for the decomposition. This book uses opposite signature but the same Landau-Lifshitz spacelike sign convention used in the Wikipedia.

• Шаблон:Книга See section 6.7 for a discussion of the decomposition (but note different sign conventions).

• Шаблон:Книга See section 3.2 for a discussion of the decomposition.

• Шаблон:Citation. Section 6.1 discusses the decomposition. Versions of the decomposition also enter into the discussion of conformal and projective geometries, in chapters 7 and 8.

• Шаблон:Citation.