Русская Википедия:Разложение Шура
Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названное именем Исая Шура.
Утверждение
Если <math>A</math> является квадратной матрицей порядка <math>n</math> с комплексными элементами, то её можно представить в виде[1][2]:
- <math> A = Q U Q^{-1}</math>
где <math>Q</math> — унитарная матрица (так что её обратная <math>Q^{-1}</math> является эрмитово-сопряжённой <math>Q^*</math> матрицы <math>Q</math>), а <math>U</math> — верхняя треугольная матрица, которая называется формой Шура матрицы <math>A</math>. Поскольку <math>U</math> подобна матрице <math>A</math>, она имеет то же мультимножество собственных значений, а поскольку она треугольна, эти собственные значения совпадают с диагональными элементами матрицы <math>U</math>.
Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность <math>A</math>-инвариантных подпространств <math>\{0\} = V_0 \subset V_1 \subset \dots \subset V_n = \Complex^n</math> и упорядоченный ортогональный базис, такие что линейная комбинация первых <math>i</math> базисных векторов даёт <math>V_i</math> для всех <math>i</math> в последовательности. Иными словами, первая часть говорит, что линейное отображение <math>J</math> на комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует весь флаг <math>V_1, \dots V_n</math>.
Доказательство
Конструктивное доказательство разложения Шура следующее: любой оператор <math>A</math> в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение <math>\lambda</math>, соответствующее собственному пространству <math>V_\lambda</math>. Пусть <math>V_\lambda^\perp</math> — ортонормальное дополнение. При таком ортогональном разложении <math>A</math> имеет матричное представление (можно выбрать любые ортонормальные базисы <math>\Z_1</math> и <math>\Z_2</math> для натянутых на них пространств <math>V_\lambda</math> и <math>V_\lambda^\perp</math> соответственно):
- <math>\begin{bmatrix} Z_1 & Z_2 \end{bmatrix}^{*} A \begin{bmatrix}Z_1 & Z_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda \, I_{\lambda} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}:
\begin{matrix} V_{\lambda} \\ \oplus \\ V_{\lambda}^{\perp} \end{matrix} \rightarrow \begin{matrix} V_{\lambda} \\ \oplus \\ V_{\lambda}^{\perp} \end{matrix} </math>,
где <math>I_\lambda</math> — тождественный оператор на <math>V_\lambda</math>. Полученная матрица треугольна за исключением блока <math>A_{2\,2}</math>. Но точно ту же процедуру можно совершить для подматрицы <math>A_{2\,2}</math>, которая рассматривается как оператор на <math>V_\lambda^\perp</math> и её подматрицы. Продолжив процедуру <math>n</math> раз, пространство <math>\Complex^n</math> будет исчерпано и построение даст желаемый результат.
Особенности
Хотя любая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае такое разложение не единственно. Например, собственное пространство <math>V_\lambda</math> может иметь размерность более 1, и в этом случае любой ортонормальный базис для <math>V_\lambda</math> даст желаемый результат.
Треугольная матрица <math>U</math> может быть представлена в виде суммы диагональной <math>D</math> и строго верхней треугольной <math>N</math>: <math>U = D + N</math>. Строго верхняя треугольная матрица нильпотентна. Диагональная матрица <math>D</math> содержит собственные значения матрицы <math>A</math> в случайном порядке. Нильпотентная часть <math>N</math> в общем случае также не уникальна, но её норма Фробениуса единственным образом определяется матрицей <math>A</math>, так как норма Фробениуса матрицы <math>A</math> равна норме Фробениуса матрицы <math>U = D + N</math>.
Если <math>A</math> является нормальной, то её форма Шура <math>U</math> диагональна, а столбцы матрицы <math>Q</math> разложения <math>QUQ^{-1}</math> будут собственными векторами матрицы <math>A</math>. Таким образом, разложение Шура обобщает спектральное разложение. В частности, если <math>A</math> является положительно определённой, её разложение Шура, её спектральное разложение и её сингулярное разложение совпадают.
Коммутативное семейство матриц <math>\{A_i\}</math> может быть приведено к треугольному виду одновременно, то есть существует унитарная матрица <math>Q</math>, такая что для любой <math>A_i</math> из данного семейства выполнено <math>QA_iQ^*</math> является верхней треугольной. Конечное утверждение доказывается индукцией. Как следствие, любое коммутативное семейство нормальных матриц может быть приведено к диагональному виду[3].
В бесконечномерном случае не всякий ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако приведение к треугольному виду произвольной квадратной матрицы обобщается для компактных операторов. Любой компактный оператор в банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.
Вычисление
Декомпозиция Шура заданной матрицы выполняется QR-алгоритмом или его вариантами. С использованием таких алгоритмов для разложения Шура нет необходимости заранее вычислять корни характеристического многочлена, соответствующего матрице. И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. Таким же образом QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Все необходимые алгоритмы реализованы, в частности, в библиотеке Lapack[4].
Приложения
Из разложения Шура следуют некоторые важные результаты Шаблон:Не переведено 5, в частности:
- любой обратимый оператор содержится в подгруппе Бореля,
- любой оператор фиксирует точку на Шаблон:Не переведено 5.
Обобщённое разложение Шура
Обобщённое разложение Шура двух квадратных матриц <math>A</math> и <math>B</math> — согласованная пара разложений обеих матриц <math>A=QSZ^*</math> и <math>B=QTZ^*</math>, где <math>Q</math> и <math>Z</math> — унитарны, а <math>S</math> и <math>T</math> — треугольные. Обобщённое разложение Шура иногда называется также QZ-разложением.
Обобщённые собственные значения <math>\lambda</math>, решающие задачу обобщённых значений <math>Ax=\lambda Bx</math> (где <math>x</math> — неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов <math>S</math> к соответствующит элементам <math>T</math>. То есть, <math>i</math>-е обобщённое собственное значение <math>\lambda_i</math> удовлетворяет равенству <math>\lambda_i=S_{ii}/T_{ii}</math>.
Примечания
Литература
