Русская Википедия:Разложение на ручки
Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация
- <math>\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M</math>
где каждое <math>M_i</math> получается из <math>M_{i-1}</math> путём присоединения <math>i</math>-ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.
Предпосылки
Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру <math>S^n</math> с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения <math>\chi : D^n \to S^n</math> в окрестности <math>S^{n-1}</math>.
Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность <math>N_p</math> диффеоморфна <math>D^m</math>. Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение <math>N_p</math> и <math>M \setminus \operatorname{int}(N_p)</math>, склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в <math>M \setminus \operatorname{int}(N_p)</math>, её трубчатая окрестность диффеоморфна <math>I \times D^{m-1}</math>. Это позволяет записать <math>M</math> как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:
- <math>D^m</math>
- <math>I \times D^{m-1}</math>
- дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в <math>M \setminus \operatorname{int}(N_p)</math>.
Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем <math>I \times D^{m-1}</math> с <math>D^m</math>, отношение эквивалентности образуется путём вложения <math>(\partial I)\times D^{m-1}</math> в <math>\partial D^m</math>, которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.
Разложения на ручки ввёл Стивен СмейлШаблон:Sfn. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение <math>f : S^{j-1} \times D^{m-j}</math> в <math>\partial M</math>. Пусть <math>H^j = D^j \times D^{m-j}</math>. Многообразие <math>M \cup_f H^j</math> (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению <math>M</math> и <math>H^j</math> с отождествлением <math>S^{j-1} \times D^{m-j}</math> с его образом в <math>\partial M</math>, то есть:
- <math> M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim</math>
где отношение эквивалентности <math>\sim</math> задаётся как <math>(p,x) \sim f(p,x)</math> для всех <math>(p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j}</math>.
Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия <math>M</math> определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось <math>M</math> . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.
Терминология
Возьмём объединение M с j-ручкой <math>H^j</math>:
- <math> M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim</math>
<math>f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M</math> называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой)Шаблон:Sfn.
<math>f</math> иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.
<math>\{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j</math> является опоясывающей сферой ручки <math>H^j</math> в <math> M \cup_f H^j</math>.
Многообразие, полученное присоединением <math>g</math> копий <math>k</math>-ручек к диску <math>D^m</math>, является (m, k)-телом с ручками рода g .
Представления кобордизмов
Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где <math>\partial W = M_0 \cup M_1</math> и фильтрации
- <math>W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W </math>
где <math>M_0</math> и <math>M_1</math> являются <math>m</math>-мерными многообразиями, <math>W</math>— <math>m+1</math>-мерным, <math>W_{-1}</math> диффеоморфно <math>M_0 \times [0,1]</math>, а <math>W_i</math> получается из <math>W_{i-1}</math> путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.
С точки зрения теории Морса
Если задана функция Морса <math>f : M \to \mathbb R</math> на компактном многообразии M без края, таком что критические точки <math>\{p_1, \ldots, p_k\} \subset M</math> функции <math>f</math> удовлетворяют <math>f(p_1) < f(p_2) < \cdots < f(p_k) </math> и выполняется
- <math>t_0 < f(p_1) < t_1 < f(p_2) < \cdots < t_{k-1} < f(p_k) < t_k </math>,
тогда для всех j <math>f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]</math> диффеоморфно <math>(f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)}</math>, где <math>I(j)</math> — индекс критической точки <math>p_{j}</math>. Индекс <math>I(j)</math> соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства <math>T_{p_j}M</math>, где гессиан отрицательно определён.
Если индексы удовлетворяют неравенству <math>I(1) \leqslant I(2) \leqslant \cdots \leqslant I(k)</math>, то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм <math>W</math> с <math> \partial W = M_0 \cup M_1</math> и функция <math> f: W \to \mathbb R</math>, которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.
Если <math>f</math> — функция Морса <math>M</math>, <math>-f</math> также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.
Некоторые главные теоремы и наблюдения
- Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова <math>T^1</math>, а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
- Если присоединить две ручки в последовательности <math>(M \cup_f H^i) \cup_g H^j</math>, можно изменить порядок присоединения, обеспечивая <math>j \leqslant i</math>, то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида <math>(M \cup H^j) \cup H^i</math> для подходящих отображений присоединения.
- Граница <math>M \cup_f H^j</math> диффеоморфна <math>\partial M</math>, разрезанному вдоль оснащённой сферы <math>f</math>. Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
- Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из <math>S^m</math> хирургией на наборе оснащённых зацеплений в <math>S^m</math>. Например, известно, что любое 3-многообразие является границой 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
- Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.
См. также
- Шаблон:Не переведено 5
- Теория [ко]бордизмов
- CW-комплекс
- Тело с ручками
- Шаблон:Не переведено 5
- Шаблон:Не переведено 5
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Статья перепечатана в книге:Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Основная литература
