Русская Википедия:Разностное уравнение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Применяется для описания дискретных систем.

Примеры

• Наиболее известный пример — это рекуррентное уравнение Гамма-функции

  <math>\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z).</math>

Следует помнить, что Гамма-функция не единственное решение этого разностного уравнения. Например, функция <math>\sin{(2 \pi z})\cdot\Gamma(z)</math> также удовлетворяет этому уравнению.

• Пример линейного разностного уравнения может быть записан в форме:

<math>s(n) = c_1 s(n-1) + c_2 s(n-2) + \dots + c_d s(n-d),</math>

где <math>d</math> коэффициентов <math>c_1, c_2, \dots, c_d</math> являются константами.

Свойства

• Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнение бесконечного порядка, в силу тождества

  <math>F(z+a) = \exp\left(a\,\frac{d}{d z}\right) F(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n\,F^{(n)}}{n!} = F(z) + a\,F'(z) +\frac{a^2\, F(z)}{2}\dots.</math>

См. также

• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения.

Литература

• Групповые свойства разностных уравнений / В. А. Дородницын. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 236 с. : ил.; 22 см; ISBN 5-9221-0171-4