Русская Википедия:Разрешимая группа
Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.
Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.
Эквивалентные определения
Разрешимая группа — группа <math>G</math>, такая что убывающий ряд
- <math>G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,</math>
в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.
Можно доказать, что если <math>H</math> — нормальная подгруппа в <math>G</math>, <math>H</math> разрешима и факторгруппа <math>G/H</math> разрешима, то <math>G</math> разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:
Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп <math>\{1\} = G_0 \leqslant G_1 \leqslant \cdots \leqslant G_k = G</math>, такая что <math> G_{j-1}</math> является нормальной подгруппой <math>G_j</math>, и <math>G_j/G_{j-1}</math> — абелева группа.
Свойства
- Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп.
- Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
- Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешимаШаблон:Sfn.
- Согласно теореме Бёрнсайда, любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.
- Согласно теореме Файта — Томпсона, конечная группа нечётного порядка разрешима.
Примеры
- Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
- Симметрическая группа <math>S_n</math> является разрешимой тогда и только тогда, когда <math>n\leqslant 4</math>.
- Группа невырожденных верхних треугольных матриц <math>\mathbf{UT}_n</math> разрешима.
- Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
- Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа <math>A_5</math> порядка 60.
Примечания
Литература
Ссылки
- Порядки неразрешимых групп — Шаблон:OEIS
