Русская Википедия:Раскраска области определения

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Domain coloring x2-1 x-2-i x-2-i d x2+2+2i.xcf
Раскраска области определения как график функции <math>f(x) = \tfrac{(x^2 - 1)(x - 2 - i)^2}{x^2 + 2 + 2i}</math> с использованием структурной функции, описанной ниже.

Раскраска области определения — это техника визуализации комплексных функций, которая назначает цвет каждой точке комплексной плоскости.

Мотивация: четырёхмерная размерность

График вещественной функции можно нарисовать в плоскости с координатами x и y. В отличие от вещественных функций, граф комплексной функции (точнее, функции с комплексными значениями от одной комплексной переменной <math>g : \Complex \to \Complex</math>) требует визуализацию в четырёхмерном пространстве. Один из способов достижения этого — римановы поверхности, другая возможность — раскраска области определения.

Метод

Файл:Complex coloring.jpg
HL график z с помощью простой функции цвета, описанной в тексте
Файл:Complex x hoch 3.jpg
Граф комплексной функции Шаблон:Math, использующий ту же функцию цвета и показывающий три нуля, как и негативные вещественные числа в виде светло-голубых лучей, исходящих из нулей.

Для лучшего отображения комплексные значения представляются цветом. Такое сопоставление называется «функцией цвета». Используется много различных функций цвета. Обычная практика — представлять Шаблон:Не переведено 5 (известный также как «фаза») цветом из цветового круга, а модуль (или амплитуду) яркостью или насыщенностью.

Простая функция цвета

Следующий пример функции цвета имеет чёрный цвет в нуле, красный в 1, голубой в −1 и белый на бесконечности:

<math>\begin{align}

H & = \arg z, \\ L & = \left(1-2^{- \left|z \right|}\right) \times 100\%, \\ S & = 100\%. \end{align}</math>

Более точно, функция использует цветовую модель HSL (hue, saturation, lightness = цвет, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда имеет максимум в 100 %. Цвета радуги размещаются по кругу на единичной комплексной окружности, так что шесть корней из единицы (начиная с 1) получают цвета: красный, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый. Модуль (амплитуда) кодируется интенсивностью посредством строго монотонной непрерывной функции.

Поскольку модель HSL не является сенсорно однородной, можно видеть полоски сенсорной яркости жёлтого, голубого и фиолетового цвета (хотя абсолютные значения те же самые, что и у красного, зелёного и синего цвета) и эффект гало вокруг <math>L = \tfrac{1}{2}</math>. Использование LAB корректирует эти эффекты, делая образы более аккуратными, но делает их также более тусклыми/пастельными.

Структурная функция цвета

Файл:Domain coloring.png

Модуль (амплитуда) вещественного числа может меняться от 0 до ∞, существенно более широко, чем аргумент (фаза). Поэтому функция цвета сжимает всё множество значений в небольшой разброс амплитуды. Это можно сделать с помощью разрывной функции цвета, имеющей повторяющийся набор значений.

Кроме того, эта функция цвета показывает белые лучи для аргументов 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6 и серую решётку для равных вещественных и мнимых значений. Подобная функция цвета использована в графике в начале статьи.

История

Вероятно, первое применение метода было в публикации Ларри Крона и Ханса Ландмарка в конце 1980-хШаблон:Sfn.

Термин «раскраска области определения» предложил Франк Харрис около 1998-го года[1][2]. Было много более ранних применений использования цвета для визуализации комплексных функций, которые, обычно, отражали Шаблон:Не переведено 5 (фазу) цветомШаблон:Sfn. Техника использования непрерывного цвета для отображения точек из области определения в область значений или плоскость изображения использовали в 1999 Джорж Абдо и Пол Годфри [3], а цветные решётки использовал в графиках Дуглас Н. Арнольд в 1997[4].

Ограничения

Люди, страдающие дальтонизмом, могут испытывать проблемы интерпретации таких графиков.

Фазовые диаграммы

Фазовые диаграммы являются специальной версией раскраски области определения. Всестороннее введение в фазовые диаграммы дано в книге Элиаса ВегертаШаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Изолированная статья Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane Шаблон:Wayback
  2. ↑ Шаблон:Cite web. Ландмарк ссылается на принадлежность термина Фаррису в статье 2004 года.
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Раскраска_области_определения&oldid=10681480