Русская Википедия:Распределение Вейбулла

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Вероятностное распределение}{k^{\frac{1}{k}}},</math> для <math>k>1</math> | variance = <math>\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2</math> | skewness = <math>\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3}{\sigma^3}</math> | kurtosis = <math>\frac{\lambda^4\Gamma\left(1+\frac4k\right)-4\lambda^3\mu\Gamma\left(1+\frac3k\right)+ 6\lambda^2\mu^2\Gamma\left(1+\frac2k\right)-3\mu^4}{\sigma^4}</math> | entropy = <math>\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1</math> | mgf = <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k), \ k\geq1</math> | char = <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k)</math> }}

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

Определение

Пусть распределение случайной величины <math>X</math> задаётся плотностью <math>f_X(x)</math>, имеющей вид:

<math>f_X(x) = \left\{

\begin{matrix} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right..</math> Тогда говорят, что <math>X</math> имеет распределение Вейбулла. Пишут: <math>X \sim \mathrm{W}(k,\lambda)</math>.

Если величину Шаблон:Math принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

  • Шаблон:Math < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
  • Шаблон:Math = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
  • Шаблон:Math > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент Шаблон:Math известен как модуль Вейбулла.

Свойства

Функция плотности

Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < Шаблон:Math < 1 плотность стремится к бесконечности при <math>x\to 0+</math> и строго убывает. Для Шаблон:Math = 1 плотность стремится к Шаблон:Math при <math>x\to 0+</math> и строго убывает. Для Шаблон:Math > 1 плотность стремится к 0 при <math>x\to 0+</math>, возрастает до достижения своей моды и убывает после. Плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0 при 0 < Шаблон:Math < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0 при 1 < Шаблон:Math < 2, и нулевой угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0 при Шаблон:Math > 2. При Шаблон:Math = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0. При <math>k\to \infty</math> распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в Шаблон:Math = Шаблон:Math. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.

Функция распределения

Функция распределения Вейбулла:

<math>F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}</math>

при Шаблон:Math ≥ 0, и Шаблон:Math = 0 при Шаблон:Math < 0

Квантиль распределения Вейбулла:

<math>Q(p;k,\lambda) = \lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}</math>

при 0 ≤ Шаблон:Math < 1.

Интенсивность отказов Шаблон:Math:

<math> h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.</math>

Моменты

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

<math>\mathbb{E}\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right),</math>

где Шаблон:Math — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма Шаблон:Math задаётся

<math>\mathbb{E}\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).</math>

Моменты случайной величины <math>X</math>, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

<math>\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)</math>, где <math>\Gamma</math> — гамма-функция,

откуда

<math>\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)</math>,
<math>\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right]</math>.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

<math>\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}</math>

Коэффициент эксцесса

<math>\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2

-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2},</math>

где <math>\Gamma_i=\Gamma(1+i/k)</math>, так же может быть записан:

<math>\gamma_{2}=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}-3</math>

Производящая функция моментов

Существует множество выражений для производящей функции моментов самой <math>X</math>

<math>\mathbb{E}\left[e^{tX}\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).</math>

Так же можно работать непосредственно с интегралом

<math>\mathbb{E}\left[e^{tX}\right] = \int_0^\infty e^{tx} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}\,dx.</math>

Если коэффициент Шаблон:Math предполагается рациональным числом, выраженным Шаблон:Math = Шаблон:Math, где Шаблон:Math и Шаблон:Math целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.[1] С заменой Шаблон:Math на Шаблон:Math, получается

<math> \mathbb{E}\left[e^{-tX}\right] = \frac1{ \lambda^k\, t^k} \, \frac{ p^k \, \sqrt{q/p}} {(\sqrt{2 \pi})^{q+p-2}} \, G_{p,q}^{\,q,p} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{1-k}{p}, \frac{2-k}{p}, \dots, \frac{p-k}{p} \\ \frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} \end{matrix} \; \right| \, \frac {p^p} {\left( q \, \lambda^k \, t^k \right)^q} \right), </math>

где Шаблон:Math — это G-функция Мейера.

Информационная энтропия

Информационная энтропия задаётся таким образом

<math>

H(\lambda,k) = \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right) + \ln\left(\frac{\lambda}{k}\right) + 1, </math>

где <math>\gamma</math> — это Постоянная Эйлера — Маскерони.

Оценка коэффициентов

Наибольшее правдоподобие

Оценка максимального правдоподобия для коэффициента <math>\lambda</math>

<math>\hat \lambda^k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k </math>

Для <math>k</math>

<math>
 \hat k^{-1} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^k \ln x_i }
                      {\sum_{i=1}^n x_i^k }
                 - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i

</math>

Условная функция надёжности Вейбулла

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

<math> R(t|T)={ \frac{R(T+t)}{R(T)}}={\frac{e^{-\left( {\frac{T+t }{\lambda }}\right) ^{k }}}{e^{-\left( {\frac{T }{\lambda }}\right) ^{k }}}}</math>
или
<math> R(t|T)=e^{-\left[ \left( {\frac{T+t }{\lambda }}\right) ^{k }-\left( {\frac{T}{\lambda }}\right) ^{k }\right] }</math>

Для 3-х параметрического:

<math> R(t|T)={ \frac{R(T+t)}{R(T)}}={\frac{e^{-\left( {\frac{T+t-\theta }{\lambda }}\right) ^{k }}}{e^{-\left( {\frac{T-\theta }{\lambda }}\right) ^{k }}}}</math>

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё <math>t</math> времени при условии, что он уже проработал <math>T</math>.

График Вейбулла

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — <math>\ln(-\ln(1-\hat F(x)))</math> и <math>\ln(x)</math> Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

<math>\begin{align}

F(x) &= 1-e^{-(x/\lambda)^k}\\ -\ln(1-F(x)) &= (x/\lambda)^k\\ \underbrace{\ln(-\ln(1-F(x)))}_{\textrm{'y'}} &= \underbrace{k\ln x}_{\textrm{'mx'}} - \underbrace{k\ln \lambda}_{\textrm{'c'}} \end{align} </math>

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя <math>\hat F = \frac{i-0.3}{n+0.4}</math>, где <math>i</math> — это ранг точки данных, а <math>n</math> — это общее количество точек.[3]

Использование

Распределение Вейбулла используется:

Файл:FitWeibullDistr.tif
Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей
  • В прогнозировании погоды
    • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
  • В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами клаттеров
  • В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
  • В прогнозировании технологических изменений
  • В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
  • В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
  • Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

Связь с другими распределениями

  • Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
  • 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности
<math>f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}</math>

где <math>x \geq \theta</math> и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где <math>k >0</math> — коэффициент формы, <math>\lambda >0</math> — коэффициент масштаба и <math>\theta</math> — коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

  • 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая <math>\theta=0</math> и <math>k=C=Constant</math>:
<math> f(t)={ \frac{C}{\lambda }}\left( {\frac{t}{\lambda }}\right) ^{C-1}e^{-\left( {\frac{t}{ \lambda }}\right) ^{C}}</math>

Если <math>X</math> — экспоненциальное распределение <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> для параметра <math>\lambda</math>, то случайная величина <math>Y = X^{1/k} ~(k>0)</math> имеет распределение Вейбулла <math>\operatorname{W}(\lambda^{1/k}, k)</math>. Для доказательства рассмотрим функцию распределения <math>Y</math>:

<math>F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{1/k} \le y) = P(X \le y^k) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^k} = 1 - e^{-(\lambda^{1/k} \cdot y)^k},~y > 0</math>

Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.

<math>\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda)</math>.

функция распределения имеет вид

<math>f(x;P_{\rm{80}},m) = \begin{cases}

1-e^{ln\left(0.2\right)\left(\frac{x}{P_{\rm{80}}}\right)^m} & x\geq0 ,\\ 0 & x<0 ,\end{cases}</math> где

<math>x</math>: Размер частицы
<math>P_{\rm{80}}</math>: 80-й процентиль распределения размера частиц
<math>m</math>: Коэффициент, описывающий размах распределения

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Список вероятностных распределений Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ См. Шаблон:Harv для случая целого Шаблон:Math, и Шаблон:Harv в случае рационального.
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
  4. ↑ Шаблон:Cite web
  5. ↑ Шаблон:Книга
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Распределение_Вейбулла&oldid=10681767