Русская Википедия:Распределение Колмогорова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Распределе́ние Колмого́рова в теории вероятностей — это абсолютно непрерывное распределение, широко используемое в математической статистике для оценки распределения выборки.

Определение

Случайная величина <math>X</math> имеет распределение Колмогорова, если её функция распределения <math>F_X</math> имеет вид:

<math>

F_X(x) = K(x) = \begin{cases} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k e^{-2k^2 x^2}, & x > 0; \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases} </math> Обозначается: <math>X\sim \mathrm{K}</math>.

Связь с другими объектами теории вероятностей

• Случайная величина

<math>X=\sup_{t\in[0,1]} |B(t)|,</math>

где <math>B(t)</math> — броуновский мост, имеет распределение Колмогорова.

• Пусть <math>X_1,\ldots,X_n</math> — выборка объёма <math>n</math>, порождённая случайной величиной с непрерывной функцией распределения <math>F(x)</math>. Пусть <math>F_n(x)</math> — выборочная функция распределения. Если ввести обозначение

<math>D_n=\sup\limits_{x\in \mathbb{R}} |F_n(x)-F(x)|, </math> то выполняется

<math>\lim_{n\to\infty}P(\sqrt{n}D_n\leqslant t)=K(t)</math>

Утверждение носит название теоремы Колмогорова. Его можно использовать для нахождения доверительного интервала функции распределения <math>F(x)</math>.

Литература

• J. Durbin, Regional Conf. Series on Applied Math. 9 (SIAM, 1973)).

См.также

• Критерий согласия Колмогорова;
• Теорема Колмогорова;
• Колмогоров, Андрей Николаевич.