Русская Википедия:Распределение Парето
Шаблон:Вероятностное распределение</math> |cdf = <math>1 - \left(\frac{x_\text{m}}{x}\right)^k</math> |mean = <math>\frac{kx_\text{m}}{k - 1}</math>, если <math>k > 1</math> |median = <math>x_\text{m} \sqrt[k]{2}</math> |mode = <math>x_\text{m}</math> |variance = <math>\left(\frac{x_\text{m}}{k - 1}\right)^2 \frac{k}{k - 2}</math> при <math>k > 2</math> |skewness = <math>\frac{2(1 + k)}{k - 3}\,\sqrt{\frac{k - 2}{k}}</math> при <math>k > 3</math> |kurtosis = <math>\frac{6(k^3 + k^2 - 6k - 2)}{k(k - 3)(k - 4)}</math> при <math>k > 4</math> |entropy = <math>\ln\left(\frac{k}{x_\text{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1</math> |mgf = не определена |char = <math>k\big(\Gamma(-k)\big[x_\text{m}^k(-it)^k - (-ix_\text{m}t)^k\big] + {}</math>
<math>{} + E_\text{k+1}(-ix_\text{m}t)\big)</math>
|notation = <math>P(k, x_\text{m})</math> }} Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических и физических[1]. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.
Определение
Пусть случайная величина <math>X</math> такова, что её распределение задаётся равенством
- <math>F_X(x) = P(X < x) = 1 - \left(\frac{x_\text{m}}{x}\right)^k,\ \forall x \geqslant x_\text{m},</math>
где <math>x_\text{m}, k > 0</math>. Тогда говорят, что <math>X</math> имеет распределение Парето с параметрами <math>x_\text{m}</math> и <math>k</math>. Плотность распределения Парето имеет вид
- <math>f_X(x) = \begin{cases}
\dfrac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \geqslant x_m, \\[1ex]
0, & x < x_m.
\end{cases}</math>
Моменты
Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой
- <math>\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{kx_m^n}{k-n},</math>
откуда, в частности,
- <math>\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1},</math>
- <math>\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}.</math>
Приложения
Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода[2]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины <math>k</math>, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.
Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:
- В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
- Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
- Аналогичная кривая для популярности имён.
- Распределение размера населённых пунктов[3].
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Список вероятностных распределений
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299—345.
- ↑ Шаблон:Статья
