Русская Википедия:Распределение Рэлея
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Шаблон:Вероятностное распределение \sigma</math>|
median =<math>\sigma\sqrt{\ln(4)}</math>|
mode =<math>\sigma</math>|
variance =<math>\left( 2-\pi /2 \right){{\sigma }^{2}}</math>|
skewness =<math>\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}</math>|
kurtosis =<math>-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}</math>|
entropy =<math>1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}</math>|
<math>\psi(x) = \Gamma'(x) / \Gamma(x).</math>|
mgf =<math>1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)</math>|
char =<math>1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)</math>|
}}
Распределение Рэлея — это распределение вероятностей случайной величины <math>\displaystyle X</math> с плотностью
- <math>f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0,\sigma>0,</math>
где <math>\displaystyle\sigma</math> — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид
- <math>\mathsf P(X\leqslant x)=\int\limits_0^xf(\xi)\,d\xi=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0.</math>
Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.
Применение
- В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как <math>X</math> и <math>Y</math>, получим выражение для величины промаха в виде <math>R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}</math>. В этом случае величина <math>R</math> имеет распределение Рэлея.
- В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.
Связь с другими распределениями
- Если <math>{X}</math> и <math>{Y}</math> — независимые гауссовские случайные величины, имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии <math>{{\sigma }^{2}}</math>, то случайная величина <math>Z=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}</math> имеет распределение Рэлея.
- Если независимые гауссовские случайные величины <math>{X}</math> и <math>{Y}</math> имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса.
- Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с <math>{\sigma=1}</math> имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.
- Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.
См. также
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Список вероятностных распределений
