Русская Википедия:Распределение Трейси — Видома

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Tracy-Widom distr.svg
Вид функций плотности вероятности распределений Трейси — Видома F1, F2 и F4

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Шаблон:Нп5 и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы[1].

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами[2]. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановокШаблон:Sfnp, во флуктуациях потока Шаблон:Нп5 с шаговым начальным условиемШаблон:SfnШаблон:Sfn и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводовШаблон:Sfnp[3].

Распределение F1 особенно интересно с точки зрения Шаблон:Нп5 Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn[4].

Определение

Распределение Трейси — Видома определяется как предел[5]

<math>F_\beta(s) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\rm Prob}\left((\lambda_{\rm max}-\sqrt{2n})(\sqrt{2})n^{1/6}\leq s\right)\mbox{,}</math>

где <math>\lambda_{\rm max}</math> — наибольшее собственное число случайной матрицы <math>n \times n</math> стандартного (для компонентов матрицы <math>\sigma=1/\sqrt2</math>) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг <math>\sqrt{2n}</math> используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель <math>(\sqrt{2})n^{1/6}</math> используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как <math>n^{-1/6}</math>.

Эквивалентные представления

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей (<math>\beta=2</math>) может быть представлена как Шаблон:Нп5

<math>F_2(s) = \det(I - A_s)</math>

оператора <math>A_s</math> на интегрируемой с квадратом функции на луче <math>(s, \infty)</math> ядром в понятиях функций Эйри <math>\mathrm{Ai}</math> через

<math>\frac{\mathrm{Ai}(x)\mathrm{Ai}'(y) - \mathrm{Ai}'(x)\mathrm{Ai}(y)}{x-y}.</math>

Также её можно представить интегралом

<math>F_2(s) = \exp\left(-\int_s^\infty (x-s)q^2(x)\,dx\right)</math>

через решение Шаблон:Нп5 II

<math>q^{\prime\prime}(s) = sq(s)+2q(s)^3\,\mbox{,}</math>

где <math>q</math>, называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

<math>\displaystyle q(s) \sim \textrm{Ai}(s), s\rightarrow\infty.</math>

Другие распределения Трейси — Видома

Распределения Трейси — Видома <math>F_1</math> и <math>F_4</math> для ортогональных (<math>\beta=1</math>) и симплектических (<math>\beta=4</math>) ансамблей также выразимы через Шаблон:Нп5 <math>q</math>Шаблон:Sfn:

<math>F_1(s)=\exp\left(-\frac{1}{2}\int_s^\infty q(x)\,dx\right)\, \left(F_2(s)\right)^{1/2}</math>

и

<math>F_4(s/\sqrt{2})=\mathrm{ch}\left(\frac{1}{2}\int_s^\infty q(x)\, dx\right)\, \left(F_2(s)\right)^{1/2}.</math>

Существует расширение этого определения на случаи <math>F_\beta</math> при всех <math>\beta>0</math>Шаблон:Sfnp.

Численные приближения

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 годуШаблон:Sfnp (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточненыШаблон:Sfn и используются для получения численного анализа Пенлеве II и рапределений Трейси — Видома (для <math>\beta=1,2,4</math>) в S-PLUS. Эти распределения были табулированыШаблон:Sfn до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 годуШаблон:Sfn даны точные и быстрые алгоритмы численного определения <math>F_\beta</math> и функций плотности <math>\textstyle f_\beta(s)={dF_\beta\over ds}</math> для <math>\beta=1,2,4</math>. По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений <math>F_\beta</math>.

β Среднее Дисперсия Коэффициент
асимметрии 		Эксцесс
1 −1.2065335745820 1.607781034581 0.29346452408 0.1652429384
2 −1.771086807411 0.8131947928329 0.224084203610 0.0934480876
4 −2.306884893241 0.5177237207726 0.16550949435 0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstatШаблон:Sfnp и в пакете для MATLAB RMLab[6].

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределенийШаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Список вероятностных распределений

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Dominici, D. (2008) Special Functions and Orthogonal Polynomials American Math. Soc.
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ См. в Шаблон:Harvnb, Шаблон:Harvnb экспериментальную проверку (и подтверждение) того, что флуктуации поверхности раздела растущей капельки (или основы) описываются распределением Трейси — Видома <math>F_2</math> (или <math>F_1</math>) так, как это предсказано в (Шаблон:Harvnb)
  4. ↑ Обсуждение универсальности <math>F_\beta</math>, <math>\beta=1, 2, 4</math>, см. в Шаблон:Harvtxt. О приложении F1 к выведению популяционной структуры из генетических данных см. Шаблон:Harvtxt
  5. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  6. ↑ Dieng, 2006.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Распределение_Трейси_—_Видома&oldid=10681784