Русская Википедия:Расслоённое произведение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Расслоённое произведение (послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, Шаблон:Lang-en) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: <math>X\to Z \leftarrow Y.</math> Расслоённое произведение часто обозначают как <math> X \times_Z Y.</math>

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойство

Пусть в категории <math>C</math> дана пара морфизмов <math>f:X\to Z</math> и <math>g:Y\to Z.</math> Расслоённое произведение <math>X</math> и <math>Y</math> над <math>Z</math> — это объект <math>P = X \times_Z Y</math> вместе с морфизмами <math>p_1, p_2,</math> для которых следующая диаграмма коммутативна:

Файл:CategoricalPullback-03.png

Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта <math>Q,</math> с парой морфизмов <math>q_1:Q\to X,\,q_2:Q\to Y,</math> дополняющих пару <math>(f,g)</math> до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм <math>u\colon Q \to P,</math> такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

Файл:CategoricalPullback-02.png

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами <math>f,g,p_1,p_2</math> называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов <math>f</math> и <math>g.</math>

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Примеры

В категории множеств расслоённое произведение множеств <math>X</math> и <math>Y</math> с отображениями <math>f:X\to Z</math> и <math>g:Y\to Z</math> — это множество

<math>X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\}</math>

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоённое произведение в <math>\mathbf{Set}</math> можно описывать двумя асимметричными способами:

<math>X\times_Z Y</math>

<math>

\cong \coprod_{x\in X} g^{-1}[\{f(x)\}]</math>

<math>

\cong \coprod_{y\in Y} f^{-1}[\{g(y)\}], </math>

где <math>\coprod</math> — дизъюнктное объединение множеств.

См. также

• Индуцированное расслоение

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Книга:Категории для работающего математика
• Фейс К. Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — Шаблон:М: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
• Шаблон:Книга