Русская Википедия:Расстояние между прямыми

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В данной статье рассматриваются две параллельные прямые на плоскости. Для параллельных прямых, расположенных не в одной плоскости, смотрите Скрещивающиеся прямые#расстояние.

Расстояние между двумя прямыми линиями на плоскости — это наименьшее расстояние между любыми двумя точками, лежащими на этих прямых. В случае пересекающихся линий расстояние между ними равно нулю, потому что минимальное расстояние между ними равно нулю (в точке пересечения), в то время как в случае двух параллельных линий это перпендикуляр — расстояние от точки на одной прямой к другой прямой.

Формулы и доказательства

Если линии параллельны, то расстояние между ними — это постоянная величина, так что не важно, какая точка выбрана, чтобы измерить расстояние. Даны уравнения двух параллельных линий

<math>y = mx+b_1\,</math>

<math>y = mx+b_2\,,</math>

расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикуляром

<math>y = -x/m \, .</math>

Это расстояние может быть найдено при решении системы линейных уравнений

<math>\begin{cases}

y = mx+b_1 \\ y = -x/m \, , \end{cases}</math>

и

<math>\begin{cases}

y = mx+b_2 \\ y = -x/m \, , \end{cases}</math>

чтобы получить координаты точек пересечения. Определяем координаты точки пересечения

<math>\left( x_1,y_1 \right)\ = \left( \frac{-b_1m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1} \right)\, ,</math>

и

<math>\left( x_2,y_2 \right)\ = \left( \frac{-b_2m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1} \right)\, .</math>

Расстояние между точками

<math>d = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}\,,</math>

которое можно сократить, как

<math>d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}\,.</math>

Если известны уравнения прямых в декартовой системе координат, то можно их записать:

<math>ax+by+c_1=0\,</math>

<math>ax+by+c_2=0,\,</math>

где расстояние между прямыми можно записать так

<math>d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.</math>

См. также

• Расстояние от точки до линии
• Скрещивающиеся прямые#расстояние