Русская Википедия:Растяжение (геометрия)
Растяжение — операция над многогранником (в любой размерности, не только в трёхмерном пространстве), при которой фасеты отделяются и передвигаются радиально в направлении от центра, новые фасеты образуются на разделённых элементах (вершинах, рёбрах и т.д.). Эти же операции можно понимать как операции, сохраняющие фасеты на месте, но уменьшающие их в размерах.
Под политопом понимается многомерный многогранник и далее в статье эти понятия употребляются как синонимы (слово «многомерный» может быть опущено, если оно предполагается по смыслу)[1].
Растяжение правильного многомерного многогранника образует Шаблон:Не переведено 5, но операция может быть применена к любому выпуклому политопу, как продемонстрировано для многогранников в статье «Нотация Конвея для многогранников». В случае трёхмерных многогранников растянутый многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойственного многогранника и дополнительные квадратные грани на месте исходных рёбер.
Растяжение правильных политопов
Согласно Коксетеру, это термин для многомерных тел был определён Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn для создания новых многомерных многогранников. Точнее, для создания Шаблон:Не переведено 5 из правильных многомерных многогранников.
Операция растяжения симметрична для правильных политопов и им двойственных многогранников. Получающееся тело содержит фасеты как правильного многогранника, так и двойственного ему многогранника, а также дополнительные призматические фасеты, заполняющие пространство между элементами меньшей размерности.
Растяжение до некоторой степени имеет различное значение для разных размерностей. В построении Витхоффа растяжение генерируется отражением от первого и последнего зеркала. В более высоких размерностях растяжение может быть записано с помощью (нижнего) индекса, так что e2 — это то же самое, что и t0,2 в любой размерности.
Замечание: Названия операций над многогранниками в русскоязычной литературе не устоялись, так что ниже даны английские названия с переводом.
По размерностям:
- Правильный {p} многоугольник растягивается в правильный 2p-угольник.
- Для многоугольников операция идентична операции усечения, e{p} = e1{p} = t0,1{p} = t{p} и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD.
- Правильный {p,q} многогранник (3-мерный политоп) растягивается в многогранник с вершинную фигуру p.4.q.4.
- Для многогранников эта операция носит название «cantellation» (скашивание), e{p,q} = e2{p,q} = t0,2{p,q} = rr{p,q}, и операция имеет диаграмму Коксетера Шаблон:CDD.
- Файл:Cube cantellation sequence(ru).svg
- Например, ромбокубооктаэдр может быть назван растянутым кубом, растянутым октаэдром, а также скошенным кубом или скошенным октаэдром.
- Для многогранников эта операция носит название «cantellation» (скашивание), e{p,q} = e2{p,q} = t0,2{p,q} = rr{p,q}, и операция имеет диаграмму Коксетера Шаблон:CDD.
- Правильный {p,q,r} четырёхмерный многогранник (4-политоп) растягивается в новый 4-мерный политоп с теми же {p,q} ячейками, новые ячейки {r,q} образуются на месте старых вершин, p-угольные призмы образуются на месте старых (2-мерных) граней и r-угольные призмы на месте старых рёбер.
- Для 4-мерных многогранников эта операция носит название Шаблон:Не переведено 5 (обстругивание), e{p,q,r} = e3{p,q,r} = t0,3{p,q,r}, и операция имеет диаграмму Коксетера Шаблон:CDD.
- Подобным же образом правильный {p,q,r,s} пятимерный многогранник растягивается в новый 5-мерный политоп с фасетами {p,q,r}, {s,r,q}, Шаблон:Не переведено 5 {p,q}×{ }, призмами {s,r}×{ } и дуопризмами {p}×{s}.
- Операция называется Шаблон:Не переведено 5 (обрубание), e{p,q,r,s} = e4{p,q,r,s} = t0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} и операция имеет диаграмму Коксетера Шаблон:CDD.
Общая операция растяжения правильного n-мерного многогранника — t0,n-1{p,q,r,...}. Новые правильные фасеты добавляются на место каждой вершины и новые призматические политопы добавляются для каждого разделённого ребра, (двумерной) грани и т.д..
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга Первое издание: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
- Шаблон:Mathworld
- Шаблон:Книга
Шаблон:Операции над многогранниками
- ↑ В русскоязычной литературе под правильными политопами (многогранниками размерности > 3) и многогранниками обычно понимают выпуклые тела, в англоязычной литературе звёздчатые правильные многогранники тоже считаются правильными политопами (многогранниками)
.svg){kind=link}