Русская Википедия:Расширение Оре

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Расширение Оре — особый тип расширения кольца, свойства которого относительно хорошо изучены. Названо в честь Ойстина Оре.

Определение

Пусть <math>R</math> — алгебра без делителей нуля, <math>R[t]</math> — свободный (левый) R-модуль, состоящий из всех многочленов вида <math>P = a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1}+...+a_0 t_0</math>, где <math>a_i \in R</math>, степени <math>deg(P)=n</math>, <math>\alpha</math> — мономорфизм из <math>R</math> в себя и <math>\delta</math> — некоторое <math>\alpha</math>-дифференцирование на <math>R</math>. Существует единственная структура алгебры на <math>R[t]</math>, т.ч. естественное включение <math>R \rightarrow R[t]</math> является гомоморфизмом и выполняется соотношение <math>ta = \alpha(a)t + \delta(a)</math> для всех <math>a \in R</math>.

Определённая таким образом алгебра называется расширением Оре, ассоциированным с тройкой <math>(R, \alpha, \delta)</math>, и обозначается <math>R[t, \alpha, \delta]</math>.

Конструкция

Пусть <math>M</math> — алгебра, состоящая из всех бесконечных матриц <math>(f_{ij})_{i,j \geq 1}</math>с элементами в алгебре <math>End(R)</math>, т.ч. в каждом столбце и в каждой строке этих матриц лишь конечное число элементов отличны от нуля. Единицей в <math>M</math> является диагональная матрица <math>I</math> с тождественными операторами на диагонали. Пусть <math>\hat{a} \in End(R)</math> — оператор левого умножения на <math>a</math>. Тогда на <math>\alpha</math> и <math>\delta</math> наложены следующие условия:

<math>\alpha \hat{a} = \hat{\alpha(a)}\alpha \text{ и } \delta \hat{a} = \hat{\alpha(a)}\delta + \hat{\delta(a)} </math>. Рассмотрим бесконечную матрицу

<math>T = \begin{pmatrix} \delta & 0 & 0 & 0 & ... \\ \alpha & \delta & 0 & 0 & ... \\ 0 & \alpha & \delta & 0 & ... \\ 0 & 0 & \alpha & \delta & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix}</math>.

Она позволяет определить инъективное линейное отображение <math>\Phi: R[t] \rightarrow M</math> по формуле <math>\Phi \left(\sum_{i=0}^n a_i t^i \right) = \sum_{i=0}^n (\hat{a}_i I) T^i</math>. Пусть <math>S</math> — подалгебра в <math>M</math>, порождённая элементами <math>T</math> и <math>\hat{a}I</math> (<math>a \in R</math>). Она является образом <math>R[t]</math> при отображении <math>\Phi</math>. Поскольку <math>\Phi</math> является мономорфизмом, то оно индуцирует линейный изоморфизм между <math>R[t]</math> и <math>S</math>, позволяющий индуцировать структуру алгебры <math>S</math> на <math>R[t]</math>.

Литература

• Шаблон:Книга