Русская Википедия:Расширение группы

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа <math>N</math> и факторгруппа <math>Q</math>, и ищется расширение <math>G \supset N</math> такое, что <math>G/N \cong Q</math>, или, что эквивалентно, такая <math>G</math>, что существует короткая точная последовательность:

<math>1\to N\to G\to Q\to 1</math>.

В этом случае говорят, что <math>G</math> является расширением <math>Q</math> при помощи <math>N</math>^[1] (иногда используется другая формулировка: группа <math>G</math> является расширением <math>N</math> с помощью <math>Q</math>^[2]Шаблон:Sfn).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа <math>N</math> лежит в центре группы <math>G</math>.

Примеры

Группы <math>\mathbb{Z}_4</math> также как <math>\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2</math> являются расширениями <math>\mathbb{Z}_2</math> при помощи <math>\mathbb{Z}_2</math>.

Очевидное расширение — прямое произведение: если <math>G = K \times H</math>, то <math>G</math> является как расширением <math>H</math>, так и <math>K</math>. Если <math>G</math> является полупрямым произведением групп <math>K</math> и <math>H</math> (<math>G=K\rtimes H</math>), то <math>G</math> является расширением <math>H</math> с помощью <math>K</math>.

Шаблон:Не переведено 5 дают дальнейшие примеры расширений.

Свойства

Если потребовать, что <math>G</math> и <math>Q</math> были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы <math>Q</math> с помощью заданной (абелевой) группы <math>N</math>, фактически, является группой, которая изоморфна:

<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N)</math>

(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа <math>G</math> обладает максимальной нормальной подгруппой <math>N</math> с простой факторгруппой <math>G/N</math>, все конечные группы могут быть построены как Шаблон:Не переведено 5 <math>\{A_i\}</math>, где каждая группа <math>A_{i+1}</math> является расширением <math>A_i</math> при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширений

Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы <math>H</math> при помощи <math>K</math>, или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:

<math>1 \to K\stackrel{i}{{}\to{}} G\stackrel{\pi}{{}\to{}} H\to 1</math>

и

<math>1\to K\stackrel{i'}{{}\to{}} G'\stackrel{\pi'}{{}\to{}} H\to 1</math>

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы <math>T: G\to G'</math>, делающий коммутативной диаграмму:

Файл:Extensions groups.png

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по Шаблон:Не переведено 5.

Может случиться, что расширения <math>1\to K\to G\to H\to 1</math> и <math>1\to K\to G^\prime\to H\to 1</math> не эквивалентны, но <math>G</math> и <math>G'</math> изоморфны как группы. Например, имеется <math>8</math> неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>Шаблон:Sfn, но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка <math>2</math> с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение — это расширение:

<math>1\to K\to G\to H\to 1</math>,

которое эквивалентно расширению:

<math>1\to K\to K\times H\to H\to 1</math>,

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя <math>K\times H</math>.

Классификации расщепляемых расширений

Расщепляемое расширение — это расширение:

с гомоморфизмом <math>s\colon H \to G</math>, таким что переход от <math>H</math> к <math>G</math> с помощью <math>s</math>, а затем обратно к <math>H</math> по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на <math>H</math>, то есть <math>\pi \circ s=\mathrm{id}_H</math>. В этой ситуации обычно говорят, что <math>s</math> расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа <math>G</math> является полупрямым произведением <math>K</math> и <math>H</math>. Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам <math>H\to\operatorname{Aut}(K)</math>, где <math>\operatorname{Aut}(K)</math> является группой автоморфизмов <math>K</math>.

Центральное расширение

Центральное расширение группы <math>G</math> является короткой точной последовательностью групп

такой что <math>A</math> лежит в <math>Z(E)</math> (центре группы <math>E</math>). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы <math>G</math> с помощью <math>A</math> (где <math>G</math> действует тривиально на <math>A</math>) является взаимно-однозначным соответствием с группой Шаблон:Не переведено 5 <math>H^2(G, A)</math>.

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы <math>G</math> и любой абелевой группы <math>A</math>, полагая <math>E</math> равным <math>A \times G</math>. Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку <math>G</math> является подгруппой <math>E</math>) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу <math>0</math> в <math>H^2(G, A)</math> согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется Шаблон:Не переведено 5.

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math> является точной последовательностью

<math>0\rightarrow \mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0,</math>

такой что <math>\mathfrak{a}</math> находится в центре <math>\mathfrak{e}</math>.

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева Шаблон:Sfn.

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что Шаблон:Не переведено 5. Более точно, связное накрывающее пространство <math>G^\ast</math> связной группы Ли <math>G</math> является естественным центральным расширением группы <math>G</math>, при этом проекция

<math>\pi\colon G^* \to G</math>

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на <math>G^\star</math> зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент <math>G</math>.) Например, когда <math>G^\star</math> является универсальным накрытием группы <math>G</math>, ядро <math>\pi</math> является фундаментальной группой группы <math>G</math>, которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли <math>G</math> и дискретная центральная подгруппа <math>Z</math>, факторгруппа <math>G/Z</math> является группой Ли, а <math>G</math> является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы <math>A</math>, <math>E</math> и <math>G</math> в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы <math>G</math> является <math>\mathfrak g</math>, алгеброй <math>A</math> является <math>\mathfrak a</math>, а алгеброй <math>E</math> является <math>\mathfrak e</math>, то <math>\mathfrak e</math> является Шаблон:Не переведено 5 <math>\mathfrak g</math> с помощью <math>\mathbf a</math>. В терминологии теоретической физики генераторы алгебры <math>\mathfrak a</math> называются Шаблон:Не переведено 5. Эти генераторы лежат в центре алгебры <math>\mathfrak e</math>. По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:

спинорные группы, которые дважды накрывают специальные ортогональные группы, которые (в чётной размерности) дважды накрывают Шаблон:Не переведено 5;
Шаблон:Не переведено 5, которые дважды накрывают симплектические группы.

Случай <math>SL_2(\mathbf R)</math> вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом <math>\tfrac{1}{2}</math>. Соответствующее проективное представление является Шаблон:Не переведено 5, построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq

↑ В общей алгебре чаще всего под расширением структуры <math>K</math> обычно предполагается структура <math>L\supset K</math>, в которой <math>K</math> является подструктурой, таким образом, в частности, определяется расширение поля; но в теории групп (возможно, ввиду обозначения <math>\operatorname{Ext}(Q,N)</math>) устоялась другая терминология, и фокус сосредоточен не на <math>N \subset G</math>, а на факторгруппе <math>Q</math>, поэтому считается, что расширяется именно <math>Q</math> при помощи <math>N</math>.
↑ Шаблон:Cite web

[1] В общей алгебре чаще всего под расширением структуры <math>K</math> обычно предполагается структура <math>L\supset K</math>, в которой <math>K</math> является подструктурой, таким образом, в частности, определяется расширение поля; но в теории групп (возможно, ввиду обозначения <math>\operatorname{Ext}(Q,N)</math>) устоялась другая терминология, и фокус сосредоточен не на <math>N \subset G</math>, а на факторгруппе <math>Q</math>, поэтому считается, что расширяется именно <math>Q</math> при помощи <math>N</math>.

[2] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Расширение группы

Содержание